Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle - Geometria Analítica- Ed: 1º - Capítulo 3.Problemas Propostos - Ex. 34
Qual o comprimento do vetor projeção de sobre o eixo dos ?
Passo 1
Vamos começar lembrando a fórmula de projeção ortogonal. A projeção ortogonal de um vetor em é
Queremos a projeção de no eixo dos , que tem vetor diretor , certo? Então vamos substituir esses valores e aí calculamos o comprimento do nosso resultado :)
Passo 2
Temos:
Beleza, encontramos a projeção, agora é só encontrar seu comprimento.
Passo 3
O comprimento de é dado por
Resposta
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Mostre que se W 1 ,. . .,W k são vetores não nulos ortogonais entre si e X = α 1 W 1 +. . .+ α k W k , então X = p r o j W 1 X +. . .+p r o j W k X .
Mostre que todo subespaço W de R n é o espaço solução de um sistema linear homogêneo. (Sugestão: seja { W 1 ,. . ., W k } uma base W ⊥ tome A = [ W 1. . .W k ] t .)
Mostre que o ângulo entre dois vetores não nulos X = ( x 1 ,. . .,x n ) e Y = ( y 1 ,. . .,y n ) de R n , que é definido como sendo o número real θ entre 0 e π tal que: c o s ( θ ) = X ⋅ Y | | X | | |
Encontre um subconjunto com o maior número possível de vetores ortonormais no subespaço dos vetores ( a , b , c , d ) ∈ R 4 tais que a - b - 2 c + d = 0 .
Use o processo de ortogonalização de Gram-Schmidt para encontrar uma base ortonormal para o subespaço de R 4 que tem como base { ( 1,1 , - 1,0 ) , ( 0,2 , 0,1 ) , ( - 1,0 , 0,1 ) } .