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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 3ª Edição - J. L. Boldrini- Ed: 3º - Capítulo 8.9 - Ex. 1

Comprove que as funções definidas nos exemplos do parágrafo 8.1 são produtos internos.

Passo 1

As funções são:

  1. Produto escalar usual de vetores do espaço R n .
  2. < v 1 , v 2 >   = 2 x 1 x 2 - x 1 y 2 - x 2 y 1 + y 1 y 2 , para v 1 = x 1 , y 1 e   v 2 = ( x 2 , y 2 )
  3. < f 1 , f 2 >   =   ∫ 0 1 f 1 t f 2 ( t ) d t

Passo 2

Para a função 1:

  1. < v , v >   = x 1 2 + x 2 2 + … + x n 2 ≥ 0

    Sendo zero apenas quando x 1 = x 2 = … = x n = 0 .

  2. < α v 1 , v 2 > = α x 1 y 1 + … α x n y n = α x 1 y 1 + … x n y n = α < v 1 , v 2 >

  3. < v 1 + v 2 , v 3 ≥ x 1 + y 1 z 1 + … + x n + y n z n

    = x 1 z 1 + … + x n z n + y 1 z 1 + … + y n z n = < v 1 , v 3 > + < v 2 , v 3 >

  4. < v 1 , v 2 > = x 1 y 1 + … + x n y n = y 1 x 1 + … + y n x n =   < v 2 , v 1 >

Passo 3

Para a função 2:

  1. < v , v >   = 2 x 1 2 - x 1 x 2 - x 1 x 2 + x 2 2 = x 1 - x 2 2 + x 1 2 ≥ 0

    A igualdade somente ocorre se x 1 = x 2 = 0 .

  2. < α v 1 , v 2 ≥ 2 α x 1 x 2 - α x 1 y 2 - α x 2 y 1 + α y 1 y 2 = α 2 x 1 x 2 - x 1 y 2 - x 2 y 1 + y 1 y 2 = α < v 1 , v 2 >
  3. < v 1 + v 2 , v 3 >   = 2 x 1 + x 2 x 3 - x 1 + x 2 y 3 - x 3 y 1 + y 2 + y 1 + y 2 y 3 = < v 1 , v 3 > + < v 2 , v 3 >
  4. < v 1 , v 2 >   = 2 x 1 x 2 - x 1 y 2 - x 2 y 1 + y 1 y 2 = 2 x 2 x 1 - x 2 y 1 - x 1 y 2 + y 2 y 1

Passo 4

Para a função 3:

  1. < f 1 , f 1 >   =   ∫ 0 1 f 1 t f 1 ( t ) d t =   ∫ 0 1 f 1 2 ( t ) d t ≥ 0 , a igualdade ocorrendo apenas de f t = 0 .
  2. < α f 1 , f 2 >   =   ∫ 0 1 α f 1 t f 2 ( t ) d t = α ∫ 0 1 f 1 t f 2 ( t ) d t = < f 1 , f 2 > .
  3. < f 1 + f 2 , f 3 >   =   ∫ 0 1 ( f 1 t + f 2 ( t ) ) f 3 ( t ) d t = ∫ 0 1 f 1 t f 3 ( t ) d t + ∫ 0 1 f 2 t f 3 ( t ) d t = < f 1 , f 3 > + < f 2 , f 3 >
  4. < f 1 , f 2 >   =   ∫ 0 1 f 1 t f 2 ( t ) d t = ∫ 0 1 f 2 t f 1 ( t ) d t =   < f 2 , f 1 >

Resposta

Demonstração.

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