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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 6.Exercícios Suplementares - Ex. 1b

Suponha que R 4 tenha o produto interno euclidiano. Encontre um vetor x → = x 1 ,   x 2 , x 3 ,   x 4 que seja ortogonal aos vetores u 1 → e u 4 → dados na parte (a) e tal que o cosseno do ângulo entre x → e u 2 → seja o dobro do cosseno do ângulo entre x → e u 3 →

Passo 1

Vamos começar tomando um vetor genérico no R 4   x → = x 1 ,   x 2 , x 3 ,   x 4 .

Como os vetores   u n → são vetores na base canônica de R 4 , então:

x → , u 1 → = x x → , u 2 → = x 2 x → , u 3 → = x 3 x → , u 4 → = x 4

Passo 2

O enunciado pede que o vetor v → seja ortogonal a u 1 → = 1 ,   0 ,   0 ,   0   e u 4 → = 0 ,   0 ,   0 ,   1 . Então,

x → , u 1 → = 0 e x → , u 4 → = 0 . Assim, x 1 = 0 e x 4 = 0

Passo 3

Se adotarmos x → = 1 para facilitar as contas já que u 2 → = 1 e u 3 → = 1 , o cosseno formado por x → e u 2 → será dado pela equação

cos ⁡ θ x → u 2 → = x → , u 2 → x → u 3 →           ∴           cos ⁡ θ x → u 2 → = x → , u 2 →

Como x → , u 2 → = x 2 , cos ⁡ θ x → u 2 → = x 2 .

Analogamente, temos cos ⁡ θ x → u 3 → = x 3

Passo 4

Já que achamos os ângulos, vamos agora aplicar a condição do enunciado que diz que o cosseno do ângulo entre x → e u 2 → seja o dobro do cosseno do ângulo entre x → e u 3 → . Então

2 cos ⁡ θ x → u 3 → = cos ⁡ θ x → u 2 →             ∴                 x 2 = 2 x 3

Dessa forma, temos as componentes do vetor x → .

x → = 0 , 2 x 3 , x 3 ,   0

Passo 5

No Passo 3 definimos que o módulo do vetor x → era igua a 1. Então, temos que usar das componentes de x → para normalizar o vetor.

  x → = 0 2 + 2 x 3 2 + x 3 2 + 0 2 = 1

4 x 3 2 + x 3 2 = 1

5 x 3 2 = 1         →             x 3 ± 5 = 1

Portanto, x 3 = ± 1 5

Passo 6

Agora, vamos substituir no vetor x →

x → = ± 0 ,   2 5 , 1 5 ,   0

Resposta

x → = ± 0 ,   2 5 , 1 5 ,   0

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