Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 6.Exercícios Suplementares - Ex. 1b
Suponha que tenha o produto interno euclidiano. Encontre um vetor que seja ortogonal aos vetores e dados na parte (a) e tal que o cosseno do ângulo entre e seja o dobro do cosseno do ângulo entre e
Passo 1
Vamos começar tomando um vetor genérico no .
Como os vetores são vetores na base canônica de , então:
Passo 2
O enunciado pede que o vetor seja ortogonal a e . Então,
e . Assim, e
Passo 3
Se adotarmos para facilitar as contas já que e , o cosseno formado por e será dado pela equação
Como , .
Analogamente, temos
Passo 4
Já que achamos os ângulos, vamos agora aplicar a condição do enunciado que diz que o cosseno do ângulo entre e seja o dobro do cosseno do ângulo entre e . Então
Dessa forma, temos as componentes do vetor .
Passo 5
No Passo 3 definimos que o módulo do vetor era igua a 1. Então, temos que usar das componentes de para normalizar o vetor.
Portanto,
Passo 6
Agora, vamos substituir no vetor