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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 9.4 - Ex. 3

Os computadores pessoais de hoje conseguem executar 70 gigaflops por segundo. Em cada caso, use a Tabela 1 para obter uma estimativa do tempo necessário para executar a operação dada com uma matriz invertível A de tamanho 10.000 × 10.000 .

(a) Executar a fase direta da eliminação de Gauss-Jordan.

(b) Executar a fase inversa da eliminação de Gauss-Jordan.

(c) Obter uma decomposição L U de A .

(d) Encontrar A - 1 reduzindo [ A   |   I   ] a I   A - 1 ] .

Passo 1

Olá! Tudo bem? Iremos resolver cada item em um passo, começando pelo item (a) neste passo 1 , lembre-se que devemos olhar a Tabela 1 .

(a) Tempo para executar a fase direta da eliminação de Gauss-Jordan:

f l o p s   n a   f a s e   d i r e t a = 2 3 n 3

Logo, para a eliminação de Gauss-Jordan,

f l o p s   n a   f a s e   d i r e t a = 2 3 10 4 3

f l o p s   n a   f a s e   d i r e t a = 2 3 10 12

f l o p s   n a   f a s e   d i r e t a ≈ 666,67 × 10 9

Como o computador considerado pode executar 70 gigaflops por segundo, temos: ( 1   g i g a f l o p = 10 9   f l o p s )

T e m p o   d e   r e s o l u ç ã o = 666,67 70 = 9,52   s e g u n d o s

Passo 2

(b) Tempo para executar a fase inversa da eliminação de Gauss-Jordan:

f l o p s   n a   f a s e   i n v e r s a = n 2

Logo, para a eliminação de Gauss-Jordan,

f l o p s   n a   f a s e   i n v e r s a = ( 10 4 ) 2

f l o p s   n a   f a s e   i n v e r s a ≈ 10 8

Como o computador considerado pode executar 70 gigaflops por segundo, temos: ( 1   g i g a f l o p = 10 9   f l o p s )

T e m p o   d e   r e s o l u ç ã o = 0,1 70 = 0,0014   s e g u n d o s

Passo 3

(c) Tempo para obter uma decomposição L U de A :

C u s t o   e m   f l o p s = 2 3 n 3

Logo, para a decomposição L U de A ,

C u s t o   e m   f l o p s = 2 3 ( 10 4 ) 3

C u s t o   e m   f l o p s = 2 3 ( 10 12 )

C u s t o   e m   f l o p s ≈ 666,67 × 10 9

Como o computador considerado pode executar 70 gigaflops por segundo, temos: ( 1   g i g a f l o p = 10 9   f l o p s )

T e m p o   d e   r e s o l u ç ã o = 666,67 70 = 9,52   s e g u n d o s

Passo 4

(d) Tempo para encontrar A - 1 reduzindo [ A   |   I   ] a I   A - 1 ] :

C u s t o   e m   f l o p s = 2 n 3

Logo, para o algoritmo de resolução de A - 1 reduzindo [ A   |   I   ] a I   A - 1 ] ,

C u s t o   e m   f l o p s = 2 ( 10 4 ) 3

C u s t o   e m   f l o p s = 2000 × 10 9

Como o computador considerado pode executar 70 gigaflops por segundo, temos: ( 1   g i g a f l o p = 10 9   f l o p s )

T e m p o   d e   r e s o l u ç ã o = 2000 70 = 28,57   s e g u n d o s

Resposta

(a) 9,52   s e g u n d o s

(b)   0,0014   s e g u n d o s

(c) 9,52   s e g u n d o s

(d) 28,57   s e g u n d o s

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