Determine a transformação T : R 2 → R 3 tal que T ( 1,1 ) = ( 3,2 , 1 ) e T ( 0 , - 2 ) = ( 0,1 , 0 ) . Encontre T ( 1,0 )   e T ( 0,1 ) .

Passo 1

Tudo beleza, gente? Maneiro!

Bom, nessa questão temos que usar as propriedades de transformação linear

T ( a X ) = a T ( X ) ,           T ( X + Y ) = T ( X ) + T ( Y )

A ideia aqui é, basicamente, escrever T ( 1,0 )   e T ( 0,1 ) como combinações de T ( 1,1 ) = ( 3,2 , 1 ) e T ( 0 , - 2 ) = ( 0,1 , 0 ) , que nós já conhecemos. Vamos lá?

T ( 1,0 ) = u T ( 1,1 ) + v T ( 0 , - 2 ) = T ( u , u ) + T ( 0 , - 2 v ) = T ( u , u - 2 v )

Olhando para as entradas da operação linear, vemos que temos que ter u = 1 e u - 2 v = 0 ⇒ v = 1 2 u = 1 2 . Logo,

T ( 1,0 ) = T ( 1,1 ) + 1 2 T ( 0 , - 2 ) = ( 3,2 , 1 ) + 1 2 ( 0,1 , 0 ) = ( 3 , 5 2 , 1 )

Passo 2

Agora, vamos seguir o mesmo raciocínio e obter T ( 0,1 ) :

T ( 0,1 ) = u T ( 1,1 ) + v T ( 0 , - 2 ) = T ( u , u ) + T ( 0 , - 2 v ) = T ( u , u - 2 v )

Nesse caso, temos u = 0 e u - 2 v = 1 ⇒ v = - 1 2 . Assim,

T ( 1,0 ) = 0 ⋅ T ( 1,1 ) - 1 2 T ( 0 , - 2 ) = - 1 2 ( 0,1 , 0 ) = ( 0 , - 1 2 , 0 )

Resposta

Veja a resolução acima.

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