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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear e Aplicações (Reginaldo J. Santos)- Ed: 1º - Capítulo 3.1 - Ex. 2

Determine a transformação T : R 2 → R 3 tal que T ( 1,1 ) = ( 3,2 , 1 ) e T ( 0 , - 2 ) = ( 0,1 , 0 ) . Encontre T ( 1,0 )   e T ( 0,1 ) .

Passo 1

Tudo beleza, gente? Maneiro!

Bom, nessa questão temos que usar as propriedades de transformação linear

T ( a X ) = a T ( X ) ,           T ( X + Y ) = T ( X ) + T ( Y )

A ideia aqui é, basicamente, escrever T ( 1,0 )   e T ( 0,1 ) como combinações de T ( 1,1 ) = ( 3,2 , 1 ) e T ( 0 , - 2 ) = ( 0,1 , 0 ) , que nós já conhecemos. Vamos lá?

T ( 1,0 ) = u T ( 1,1 ) + v T ( 0 , - 2 ) = T ( u , u ) + T ( 0 , - 2 v ) = T ( u , u - 2 v )

Olhando para as entradas da operação linear, vemos que temos que ter u = 1 e u - 2 v = 0 ⇒ v = 1 2 u = 1 2 . Logo,

T ( 1,0 ) = T ( 1,1 ) + 1 2 T ( 0 , - 2 ) = ( 3,2 , 1 ) + 1 2 ( 0,1 , 0 ) = ( 3 , 5 2 , 1 )

Passo 2

Agora, vamos seguir o mesmo raciocínio e obter T ( 0,1 ) :

T ( 0,1 ) = u T ( 1,1 ) + v T ( 0 , - 2 ) = T ( u , u ) + T ( 0 , - 2 v ) = T ( u , u - 2 v )

Nesse caso, temos u = 0 e u - 2 v = 1 ⇒ v = - 1 2 . Assim,

T ( 1,0 ) = 0 ⋅ T ( 1,1 ) - 1 2 T ( 0 , - 2 ) = - 1 2 ( 0,1 , 0 ) = ( 0 , - 1 2 , 0 )

Resposta

Veja a resolução acima.

Exercícios de Livros Relacionados

Existe um operador linear F : R 3 → R 3 tal que F 1,1 , 1 = 1,2 , 3 , F 1,2 , 3 = 1,4 , 9 e F = 2,3 , 4 = 1,8 , 27 ? Justifique sua resposta.
Seja u = x , y , z , t um vetor genérico do R 4 . Quais das aplicações definidas abaixo são operadores lineares do R 4 ? F u = u + 1,0 , 1,0 ; F u = 1,0 , 1,1 ; F u = x , y - z , y + z , x + t ; F u =
Seja u = x , y , z , t um vetor genérico do R 4 . Quais das aplicações definidas abaixo são operadores lineares do R 4 ? F u = u + 1,0 , 1,0 ; F u = 1,0 , 1,1 ; F u = x , y - z , y + z , x + t ; F u =
Seja F o operador linear do R 2 tal que F 1,0 = 2,1 e F 0,1 = 1,4 Determinar F 2,4 ;Determinar x , y ∈ R 2 tal que F x , y = 2,3 ;Provar que F é sobrejetor e injetor (bijetor).
Sejam U e V sub-espaços de um espaço W tais que W = U ⨁ V . Sejam P 1 e P 2 as aplicações de W em W tais que para todo w = u + v de W (com u ∈ U e v ∈ V ) associam, respectivamente, u e v , ou seja P