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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear e Aplicações (Reginaldo J. Santos)- Ed: 1º - Capítulo 3.1 - Ex. 1

Seja T : R 2 → R 2 uma transformação linear para a qual sabemos que T ( 1,1 ) = ( 2 , - 3 ) e T ( 0,1 ) = ( 1,2 ) .

(a) Determine T ( 3 , - 2 ) ;

(b) Determine T ( a , b ) .

Passo 1

Fala, pessoal. Para conseguir responder essa questão, precisamos lembrar das propriedades de transformação linear

T ( a X ) = a T ( X ) ,           T ( X + Y ) = T ( X ) + T ( Y )

Vamos essas propriedades para tentar obter

(a) Determine T ( 3 , - 2 )

Temos

T ( 3 , - 2 ) = u T ( 1,1 ) + v T ( 0,1 ) = T ( u , u ) + T ( 0 , v ) = T ( u , u + v )

Então, comparando os dois lados da equação, temos que ter u = 3 e u + v = - 2 ⇒ v = - 5 . Ou seja, usando T ( 1,1 ) = ( 2 , - 3 ) e T ( 0,1 ) = ( 1,2 ) , obtemos

T ( 3,2 ) = 3 T ( 1,1 ) - 5 T ( 0,1 ) = 3 ( 2 , - 3 ) - 5 ( 1,2 ) = ( 1 , - 19 )

Passo 2

Belezinha? Então, vamos pro próximo item:

(b) Determine T ( a , b )

T ( a , b ) = u T ( 1,1 ) + v T ( 0,1 ) = T ( u , u ) + T ( 0 , v ) = T ( u , u + v )

Então, u = a e u + v = b ⇒ v = b - u = b - a . Ou seja,

T ( a , b ) = a T ( 1,1 ) + ( b - a ) T ( 0,1 ) = a ( 2 , - 3 ) + ( b - a ) ( 1,2 ) = ( a + b , - 5 a + 2 b )

Maravilha, pessoal! Espero que vocês tenham entendido e nos vemos na próxima!

Resposta

Veja a resolução acima.

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