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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 26.Exercício - Ex. 20d

A que condições devem obedecer os números a , b e c para que a superfície dada seja uma superfície de rotação em torno de algum dos eixos coordenados? Especifique o eixo de rotação.

  1. Elipsóide: x 2 a 2 + y 2 b 2 + z 2 c 2 = 1 .
  2. Hiperbolóide de uma folha: - x 2 a 2 + y 2 b 2 + z 2 c 2 = 1 .
  3. Hipérboloide de duas folhas: - x 2 a 2 - y 2 b 2 + z 2 c 2 = 1 .
  4. Parabolóide elíptico ou de rotação: y = x 2 a 2 + z 2 c 2 .
  5. Parabolóide hiperbólico: x = - y 2 b 2 + z 2 c 2 .
  6. Quádrica cilíndrica hiperbólica: x 2 a 2 - z 2 c 2 = 1 .
  7. Quádrica cônica: x 2 = - y 2 b 2 - z 2 c 2 .

Passo 1

Independentemente da superfície que estejamos trabalhando no espaço, para que ela seja de rotação, algo deve sempre ser satisfeito.

Este algo é: a interseção da superfície com algum plano (qualquer um, basta que exista um) dê uma circunferência.

Se a relação acima for satisfeita, temos uma superfície de revolução.

Bom, para o caso do paraboloide, isto só ocorrerá se a = c (basta fazer o denominador das variáveis que estão elevadas ao quadrado serem iguais). E com isto, teremos:

y = x 2 a 2 + z 2 a 2

O eixo de rotação sempre será a variável que não está elevada ao quadrado. Neste caso, será o eixo O y .

Resposta

Eixo de rotação será O y se tivermos a = c .

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Obtenha, em cada caso, uma equação livre de parâmetros para a superfície cilíndrica cuja diretriz é a interseção das superfícies Ω 1 e Ω 2 e cujas geratrizes são paralelas à reta r . Ω 1 : x 2 + y 2 =
Obtenha uma equação livre de parâmetros para a superfície cônica de vértice V e diretriz Γ = Ω 1 ∩ Ω 2 , nos casos: V = 0,0 , 0 Ω 1 : x 2 - 2 z + 1 = 0 Ω 2 : y - z + 1 = 0 V = 0,0 , 1 Ω 1 : x 2 + y 2
Obtenha uma equação livre de parâmetros para a superfície cônica de vértice V e diretriz Γ = Ω 1 ∩ Ω 2 , nos casos: V = 0,0 , 0 Ω 1 : x 2 - 2 z + 1 = 0 Ω 2 : y - z + 1 = 0 V = 0,0 , 1 Ω 1 : x 2 + y 2
Obtenha uma equação livre de parâmetros para a superfície cônica de vértice V e diretriz Γ = Ω 1 ∩ Ω 2 , nos casos: V = 0,0 , 0 Ω 1 : x 2 - 2 z + 1 = 0 Ω 2 : y - z + 1 = 0 V = 0,0 , 1 Ω 1 : x 2 + y 2
Descreva, em cada caso, a curva-interseção do plano π com a superfície cilíndrica de geratrizes paralelas a r → , cuja diretriz é a interseção das superfícies Ω 1 e Ω 2 . Ω 1 : x 2 + y 2 + z - 1 2 = 1