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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 26.Exercício - Ex. 20g

A que condições devem obedecer os números a , b e c para que a superfície dada seja uma superfície de rotação em torno de algum dos eixos coordenados? Especifique o eixo de rotação.

  1. Elipsóide: x 2 a 2 + y 2 b 2 + z 2 c 2 = 1 .
  2. Hiperbolóide de uma folha: - x 2 a 2 + y 2 b 2 + z 2 c 2 = 1 .
  3. Hipérboloide de duas folhas: - x 2 a 2 - y 2 b 2 + z 2 c 2 = 1 .
  4. Parabolóide elíptico ou de rotação: y = x 2 a 2 + z 2 c 2 .
  5. Parabolóide hiperbólico: x = - y 2 b 2 + z 2 c 2 .
  6. Quádrica cilíndrica hiperbólica: x 2 a 2 - z 2 c 2 = 1 .
  7. Quádrica cônica: x 2 = - y 2 b 2 - z 2 c 2 .

Passo 1

Independentemente da superfície que estejamos trabalhando no espaço, para que ela seja de rotação, algo deve sempre ser satisfeito.

Este algo é: a interseção da superfície com algum plano (qualquer um, basta que exista um) dê uma circunferência.

Se a relação acima for satisfeita, temos uma superfície de revolução.

Agora, precisamos tomar um pouco de cuidado. O enunciado nos disse que era para analisar a seguinte relação:

x 2 = - y 2 b 2 - z 2 c 2

O enunciado nos disse que a relação acima é uma quádrica cônica. Entretanto, a relação acima é representada pelo conjunto vazio! A única solução é 0,0 , 0 .

Isto ocorre pois o segundo membro tem números positivos multiplicados por -1. Automaticamente, o segundo membro é negativo. Contudo, no primeiro membro temos x 2 . Então, como x 2 ≥ 0 e o segundo membro é negativo, a única solução é a origem.

Agora, se tivéssemos escrito a quádrica cônica correta, teríamos sim um caso de superfície de rotação. Portanto, seja a quádrica cônica

x 2 = y 2 b 2 + z 2 c 2

Ela só será de rotação se se b = c . E com isto, teremos:

x 2 = y 2 b 2 + z 2 b 2

O eixo de rotação sempre será a variável que está isolada. Neste caso, será o eixo O x .

Resposta

A equação do enunciado não corresponde a uma quádrica cônica.

Se assumirmos a seguinte quádrica, x 2 = y 2 b 2 + z 2 c 2 , com os sinais corretos, ela terá eixo rotação O x se b = c .

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Obtenha uma equação da superfície gerada pela rotação de Γ = Ω 1 ∩ Ω 2 em torno de O z .(c) Ω 1 : y = 0 Ω 2 : ( x - 2 ) 2 + ( z - 1 ) 2 = 1
Obtenha, em cada caso, uma da superfície gerada pela rotação da curva Γ = Ω 1 ∩ Ω 2 em torno de O x (no item (c), e é o número de Euler).(b) Ω 1 : y = 0 Ω 2 : x + z = 1
Se as retas r e s são reversas, não ortogonais, a superfície gerada pela rotação de s em torno de r é uma que já estudamos. Identifique-a.
Mostre que toda quádrica cônica é uma superfície cônica.
Obtenha, em cada caso, uma equação livre de parâmetros para a superfície cilíndrica cuja diretriz é a interseção das superfícies Ω 1 e Ω 2 e cujas geratrizes são paralelas à reta r . Ω 1 : x 2 + y 2 =