A que condições devem obedecer os números a , b e c para que a superfície dada seja uma superfície de rotação em torno de algum dos eixos coordenados? Especifique o eixo de rotação.Elipsóide: x 2 a 2 + y 2 b 2 + z 2 c 2 = 1 .Hiperbolóide de uma folha: - x 2 a 2 + y 2 b 2 + z 2 c 2 = 1 .Hipérboloide de duas folhas: - x 2 a 2 - y 2 b 2 + z 2 c 2 = 1 .Parabolóide elíptico ou de rotação: y = x 2 a 2 + z 2 c 2 .Parabolóide hiperbólico: x = - y 2 b 2 + z 2 c 2 .Quádrica cilíndrica hiperbólica: x 2 a 2 - z 2 c 2 = 1 .Quádrica cônica: x 2 = - y 2 b 2 - z 2 c 2 .

Eixo de rotação será O x se tivermos b = c .

Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 26.Exercício - Ex. 20b

A que condições devem obedecer os números , e para que a superfície dada seja uma superfície de rotação em torno de algum dos eixos coordenados? Especifique o eixo de rotação.

Elipsóide: .

Hiperbolóide de uma folha: .

Hipérboloide de duas folhas: .

Parabolóide elíptico ou de rotação: .

Parabolóide hiperbólico: .

Quádrica cilíndrica hiperbólica: .

Quádrica cônica: .

Passo 1

Independentemente da superfície que estejamos trabalhando no espaço, para que ela seja de rotação, algo deve sempre ser satisfeito.

Este algo é: a interseção da superfície com algum plano (qualquer um, basta que exista um) dê uma circunferência.

Se a relação acima for satisfeita, temos uma superfície de revolução.

Bom, para o caso do hiperboloide de uma folha dado, isto só ocorrerá se (basta fazer o denominador das variáveis que possuem sinal positivo serem iguais). E com isto, teremos:

O eixo de rotação sempre será a variável que acompanha o sinal negativo. Neste caso, será o eixo .

Resposta

Eixo de rotação será se tivermos .

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Obtenha, em cada caso, uma equação livre de parâmetros para a superfície gerada pela rotação da curva Γ em torno de O z ( Γ é descrita por equações paramétricas).(b) Γ : x = λ ,y = λ 2 ,z = λ 3 λ ∈ R

Obtenha, em cada caso, uma equação livre de parâmetros para a superfície gerada pela rotação da curva Γ em torno de O z ( Γ é descrita por equações paramétricas).(c) Γ : x = λ + 1 ,y = λ - 1 ,z = λ 2

Obtenha, em cada caso, uma da superfície gerada pela rotação da curva Γ = Ω 1 ∩ Ω 2 em torno de O x (no item (c), e é o número de Euler).(c) Ω 1 : y = 0 Ω 2 : x = e z

Obtenha uma equação da superfície gerada pela rotação de Γ = Ω 1 ∩ Ω 2 em torno de O z .(b) Ω 1 : y = 0 Ω 2 : 3 x 2 + 3 z = 1

Obtenha, em cada caso, uma da superfície gerada pela rotação da curva Γ = Ω 1 ∩ Ω 2 em torno de O x (no item (c), e é o número de Euler).(e) Ω 1 : y = 0 Ω 2 : ( x - 2 ) 2 + z - 1 2 = 1