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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 26.Exercício - Ex. 4a

Descreva, em cada caso, a curva-interseção do plano π com a superfície cilíndrica de geratrizes paralelas a r → , cuja diretriz é a interseção das superfícies Ω 1 e Ω 2 .

  1. Ω 1 : x 2 + y 2 + z - 1 2 = 1 Ω 2 : y + z = 2 r → = 0,1 , 1 π : z = 0
  2. Ω 1 : x 2 + 3 y 2 + z 2 = 1 7 / 4 Ω 2 : 2 x - y = 0 r → = 1,1 , - 2 π : 2 x + z = 0

Passo 1

Temos que resolver esta questão com calma. Primeiro, vamos obter a superfície cilíndrica com geratrizes paralelas a r → = 0,1 , 1 e curva diretriz Γ dada por:

Γ : x 2 + y 2 + z - 1 2 = 1 y + z = 2

Somente depois de obtermos a superfície Ω , vamos fazer a sua interseção com o plano π e entender o que esta interseção significa.

Passo 2

Agora, vamos montar o sistema de equações que precisamos resolver.

Um ponto X = x , y , z pertence a Ω se, e somente se, existe um ponto Q = u , v , w que pertence a Γ e X Q → = λ r → .

Portanto, se Q pertence a Γ , temos:

u 2 + v 2 + w - 1 2 = 1 v + w = 2

E, se X Q → = λ r → , também temos:

u = x v = y + λ w = z + λ

Portanto, o sistema que devemos resolver consiste destas 5 equações. Logo,

u 2 + v 2 + w - 1 2 = 1 v + w = 2 u = x v = y + λ w = z + λ

Passo 3

Iremos resolver o sistema de 5 equações obtidas no final do Passo anterior. Para isto, vamos substituir as três últimas equações nas duas primeiras. Obteremos então:

x 2 + y + λ 2 + z + λ - 1 2 = 1 y + λ + z + λ = 2 u = x v = y + λ w = z + λ

Vamos desenvolver a segunda equação para conseguir isolar o parâmetro λ . Portanto,

y + λ + z + λ = 2

2 λ = 2 - y - z

λ = 1 - y + z 2

Portanto, a equação livre de parâmetros que buscamos é:

x 2 + y + λ 2 + z + λ - 1 2 = 1

x 2 + y + 1 - y + z 2 2 + z + 1 - y + z 2 - 1 2 = 1

Ω : x 2 + y - z 2 + 1 2 + z - y 2 2 = 1

Passo 4

Já finalizamos a questão? Nãooooo! Precisamos fazer a interseção da superfície Ω obtida no final do Passo 3 com o plano π : z = 0 . Portanto, temos que resolver o seguinte sistema:

x 2 + y - z 2 + 1 2 + z - y 2 2 = 1 z = 0

Substituindo a segunda equação na primeira, temos:

x 2 + y 2 + 1 2 + - y 2 2 = 1

x 2 + y 2 4 + y + 1 + y 2 4 = 1

x 2 + y 2 2 + y = 0

Reorganizando e fatorando os termos, temos:

2 x 2 + y 2 + 2 y = 0

2 x 2 + y 2 + 2 y + 1 - 1 = 0

2 x 2 + y + 1 2 = 1

O que consiste na equação de uma elipse!

Resposta

A curva interseção é 2 x 2 + y + 1 2 = 1 e consiste na equação de uma elipse.

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Mostre que cada uma das equações representa uma superfície cônica com vértice na origem O = (0, 0, 0) e determine a equação de uma curva diretriz. c) 8 y 4 - y z 3 = 0
Mostre que a equação de uma superfície cônica com vértice num ponto P 0 = x 0 , y 0 , z 0 e uma curva diretriz situada no plano z = c com equação f x , y = 0 é f x 0 + c - z 0 z - z 0 x - x 0 , y 0 +
Mostre que cada uma das equações representa uma superfície de revolução e determine o seu eixo de revolução e a equação de uma curva geratriz. a) x 2 + y 2 - z 3 = 0
Determine a equação da superfície de revolução gerada pela rotação da curva dada em torno do eixo especificado. a) 9 x 2 + 4 y 2 = 36ez = 0 em torno do eixo y.
Demonstre que existe apenas um plano tangente à superfície esférica x 2 + y 2 + z 2 - 2 x + 6 y + 2 z + 8 = 0 que contém a reta x = 4 t + 4 , y = 3 t + 1 , z = t + 1 . Escreva sua equação.