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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 26.Exercício - Ex. 5b

Obtenha uma equação livre de parâmetros para a superfície cônica de vértice V e diretriz Γ = Ω 1 ∩ Ω 2 , nos casos:

  1. V = 0,0 , 0 Ω 1 : x 2 - 2 z + 1 = 0 Ω 2 : y - z + 1 = 0
  2. V = 0,0 , 1 Ω 1 : x 2 + y 2 - x = 0 Ω 2 : z = 0
  3. V = 0,0 , 0 Ω 1 : x z = 1 Ω 2 : y = 1
  4. V = 0,0 , 0 Ω 1 : x z = 1 Ω 2 : y = 0

Passo 1

Precisamos obter uma superfície cônica de vértice V = 0,0 , 1 e curva diretriz Γ dada pela interseção das superfícies Ω 1 e Ω 2 , isto é, a curva diretriz Γ é dada por:

Γ : x 2 - 2 z + 1 = 0 y - z + 1 = 0

Para isto, precisamos montar um sistema de equação que caracteriza a superfície Ω .

Seja X um ponto de coordenadas X = x , y , z . Ele pertence a Ω se, e somente se, existe um ponto Q = u , v , w que pertence a Γ e V Q → = λ V X → .

Portanto, se Q pertence a Γ , temos:

u 2 - 2 w + 1 = 0 v - w + 1 = 0

E, se V Q → = λ V X → , também temos:

u = 0 + λ x - 0 v = 0 + λ y - 0 w = 0 + λ z - 0 ⟹ u = λ x v = λ y w = λ z

Portanto, o sistema que devemos resolver consiste destas 5 equações. Logo,

u 2 - 2 w + 1 = 0 v - w + 1 = 0 u = λ x v = λ y w = λ z

Passo 2

Iremos resolver o sistema de 5 equações obtidas no final do Passo anterior. Para isto, vamos substituir as três últimas equações nas duas primeiras. Obteremos então:

λ x 2 - 2 λ z + 1 = 0 λ y - λ z + 1 = 0 u = λ x v = λ y w = λ z

Vamos desenvolver a segunda equação para conseguir isolar o parâmetro λ . Portanto,

λ y - λ z + 1 = 0

λ = - 1 y - z = 1 z - y

Portanto, a equação livre de parâmetros que buscamos é:

λ x 2 - 2 λ z + 1 = 0

x z - y 2 - 2 z z - y + 1 = 0

Portanto, a solução é: Ω : x z - y 2 - 2 z z - y + 1 = 0 mais o vértice V = 0,0 , 0 .

Resposta

A solução é: Ω : x z - y 2 - 2 z z - y + 1 = 0 mais o vértice V = 0,0 , 0 .

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Determine a equação da superfície de revolução gerada pela rotação da curva dada em torno do eixo especificado. b) x 2 - 2 z 2 + 4 z = 6ey = 0 em torno do eixo x.
Mostre que cada uma das equações representa uma superfície cônica com vértice na origem O = (0, 0, 0) e determine a equação de uma curva diretriz. b) 4 z 3 - x 2 y = 0
Mostre que cada uma das equações representa uma superfície cilíndrica e determine a equação da curva diretriz e um vetor paralelo as retas geratrizes. d) x z + 2 y z - 1 = 0
Mostre que cada uma das equações representa uma superfície cilíndrica e determine a equação da curva diretriz e um vetor paralelo as retas geratrizes. a) x 2 + y 2 + 2 z 2 + 2 x y - 2 y z = 1
Mostre que cada uma das equações representa uma superfície de revolução e determine o seu eixo de revolução e a equação de uma curva geratriz. d) x 2 y 2 + x 2 z 2 = 1