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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 26.Exercício - Ex. 5d

Obtenha uma equação livre de parâmetros para a superfície cônica de vértice V e diretriz Γ = Ω 1 ∩ Ω 2 , nos casos:

  1. V = 0,0 , 0 Ω 1 : x 2 - 2 z + 1 = 0 Ω 2 : y - z + 1 = 0
  2. V = 0,0 , 1 Ω 1 : x 2 + y 2 - x = 0 Ω 2 : z = 0
  3. V = 0,0 , 0 Ω 1 : x z = 1 Ω 2 : y = 1
  4. V = 0,0 , 0 Ω 1 : x z = 1 Ω 2 : y = 0

Passo 1

Precisamos obter uma superfície cônica de vértice V = 0,0 , 0 e curva diretriz Γ dada pela interseção das superfícies Ω 1 e Ω 2 , isto é, a curva diretriz Γ é dada por:

Γ : x z = 1 y = 0

Para isto, precisamos montar um sistema de equação que caracteriza a superfície Ω .

Seja X um ponto de coordenadas X = x , y , z . Ele pertence a Ω se, e somente se, existe um ponto Q = u , v , w que pertence a Γ e V Q → = λ V X → .

Portanto, se Q pertence a Γ , temos:

u w = 1 v = 0

E, se V Q → = λ V X → , também temos:

u = 0 + λ x - 0 v = 0 + λ y - 0 w = 0 + λ z - 0 ⟹ u = λ x v = λ y w = λ z

Portanto, o sistema que devemos resolver consiste destas 5 equações. Logo,

u w = 1 v = 0 u = λ x v = λ y w = λ z

Passo 2

Iremos resolver o sistema de 5 equações obtidas no final do Passo anterior. Para isto, vamos substituir as três últimas equações nas duas primeiras. Obteremos então:

λ x λ z = 1 λ y = 0 u = λ x v = λ y w = λ z

Da segunda equação, temos λ = 0 ou y = 0 .

Se λ = 0 , a nossa primeira equação vira:

0 = 1

O que é uma mentira. Portanto, λ ≠ 0 . Logo, a única solução é y = 0 . Continuando, a nossa primeira equação será:

x z = 1 λ 2

Como λ 2 > 0 , então,

x z > 0

Portanto, a nossa solução é o conjunto dos pontos X = x , y , z tais que y = 0 e x z > 0 mais o vértice V = 0,0 , 0 .

Resposta

A nossa solução é o conjunto dos pontos X = x , y , z tais que y = 0 e x z > 0 mais o vértice V = 0,0 , 0 .

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Mostre que cada uma das equações representa uma superfície cônica com vértice na origem O = (0, 0, 0) e determine a equação de uma curva diretriz. d) x y + x z + y z = 0
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