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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Callioli - Álgebra Linear e Aplicações - Parte 1- Ed: 6º - Capítulo 4.4 - Ex. 7

Considere o operador linear F do R 3 definido por F ( 1 ,   0 ,   0 )   =   ( 1 ,   1 ,   1 ) , F ( 0 ,   1 ,   0 )   =   ( 1 ,   0 ,   1 ) e   F 0 ,   1 ,   2   =   ( 0 ,   0 ,   4 ) . F é invertíıvel? Se for, determine o isomorfismo inverso.

Passo 1

E aí? Bora matar mais essa?

Primeiro precisamos saber o operador linear, e para isso vamos usar um vetor genérico x , y , z no R 3 . Temos:

F x , y , z

Agora vamos aplicar F ( 1 ,   0 ,   0 ) , F ( 0,1 ,   0 ) e   F 0 ,   1 ,   2 :

F x , y , z = x F 1 ,   0 ,   0 + y F 0,1 , 0 + F ( 0 ,   1 ,   2 )

Substituindo, temos:

F x , y , z = x 1 ,   1 ,   1 + y 1 ,   0 ,   1 + z ( 0 ,   0 ,   4 )

Vamos escrever na forma de matriz porque aí não tem erro:

F x , y , z = x 1 1 1 + y 1 0 1 + z 0 0 4

F x , y , z = 1 1 0 1 0 0 1 1 4 x y z

F x , y , z = x + y , x , x + y + 4 z

Passo 2

Para ser invertível:

K e r F = 0,0 , 0

Para determinar a base para K e r F , para isso vamo sigualar a zero:

F x ,   y ,   z = x + y , x , x + y + 4 z

x + y   = 0 x = 0 x + y + 4 z = 0

Temos que:

x = 0

Substituindo x na primeira equação, temos:

x +   y = 0

y = 0

Agora vamos substituir x e y na terceira equação:

x + y + 4 z = 0

0 + 0 +   4 ∙ 0 = 0

4 z = 0

z = 0

Temos que:

K e r F = 0 , 0,0

Então F é invertível.

Passo 3

Para ser isomorfismo inverso, temos que:

F u = v  

F - 1 v = u  

Considerando v :

v = x ,   y ,   z

Temos que:

F - 1 x ,   y ,   z = a , b , c

Logo:

u = a , b , c

Lembrando que:

F - 1 v = F - 1 F u = u

Temos que:

F - 1 x ,   y ,   z = a , b , c  

Podemos fazer:

F u = v  

x ,   y ,   z = F a , b , c  

Temos que:

x ,   y ,   z = a + b , a , a + b + 4 c

Passo 4

Agora vamos precisar montar um sistema:

a + b = x a = y a + b + 4 c = z

Como temos:

a = y

Vamos substituir a na primeira equação:

y + b = x

Agora vamos isolar b :

b = x - y

Substituindo a e b na terceira equação temos:

a + b + 4 c = z

x - y + y + 4 c = z

x + 4 c = z

Agora vamos isolar c :

c = z - x 4

Passo 5

Vamos voltar para:

F - 1 x ,   y ,   z = a , b , c  

E substituir:

F - 1 x ,   y ,   z = y , x - y , z - x 4  

Arrasamos!!!!!!

Até a próxima questão!!!

Resposta

Como K e r F = 0 , 0,0 , F é invertível.

O isoformismo inverso é:

F - 1 x ,   y ,   z = y , x - y , z - x 4  

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