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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Callioli - Álgebra Linear e Aplicações - Parte 1- Ed: 6º - Capítulo 4.4 - Ex. 6 a

Mostrar que cada um dos operadores lineares do R 3 a seguir é inversível e determinar o isomorfismo inverso em cada caso:

(a )   F ( x ,   y ,   z )   =   ( x   -   3 y   -   2 z ,   y   -   4 z ,   z ) ;

(b) F ( x ,   y ,   z )   =   ( x ,   x -   y . ,   2 x   +   y   -   z ) .

Passo 1

E aí? Bora matar mais essa?

Para ser invertível:

K e r F = 0,0 , 0

Para determinar a base para K e r F , para isso vamo sigualar a zero:

F x ,   y ,   z = x   -   3 y   -   2 z ,   y   -   4 z ,   z

x   -   3 y   -   2 z = 0 y   -   4 z = 0 z = 0

Temos que:

z = 0

Substituindo z na segunda equação, temos:

y   -   4 z = 0

y   -   4 ∙ 0 = 0

y = 0

Agora vamos substituir y e z na primeira equação:

x   -   3 y   -   2 z = 0

x   -   3 ∙ 0   -   2 ∙ 0 = 0

x = 0

Temos que:

K e r F = 0 , 0,0

Então F é invertível.

Passo 2

Para ser isomorfismo inverso, temos que:

F u = v  

F - 1 v = u  

Considerando v :

v = x ,   y ,   z

Temos que:

F - 1 x ,   y ,   z = a , b , c

Logo:

u = a , b , c

Lembrando que:

F - 1 v = F - 1 F u = u

Temos que:

F - 1 x ,   y ,   z = a , b , c  

Podemos fazer:

F u = v  

x ,   y ,   z = F a , b , c  

Temos que:

x ,   y ,   z = a - 3 b - 2 c , b - 4 c , c

Passo 3

Agora vamos precisar montar um sistema:

a - 3 b - 2 c = x b - 4 c = y c = z

Como temos:

c = z

Vamos substituir c na segunda equação:

b - 4 c = y

b - 4 z = y

Agora vamos isolar b :

b = y + 4 z

Substituindo b e c na primeira equação temos:

a - 3 y + 4 z - 2 z = x

a - 3 y - 12 z - 2 z = x

a - 3 y - 14 z = x

Agora vamos isolar a :

a = x + 3 y + 14 z

Passo 4

Vamos voltar para:

F - 1 x ,   y ,   z = a , b , c  

E substituir:

F - 1 x ,   y ,   z = x + 3 y + 14 z , y + 4 z , z  

Arrasamos!!!!!!

Bora que falta apenas uma!!!

Resposta

Como K e r F = 0 , 0,0 , F é invertível.

O isoformismo inverso é:

F - 1 x ,   y ,   z = x + 3 y + 14 z , y + 4 z , z

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