Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Callioli - Álgebra Linear e Aplicações - Parte 1- Ed: 6º - Capítulo 4.4 - Ex. 5
Seja definida por e ) e ). Determinar uma base de cada um dos seguintes sub-espaços vetoriais: ), , e .
Passo 1
E aí? Bora matar mais essa?
Vamos usar um vetor genérico no . Temos:
Agora vamos aplicar , e:
Substituindo, temos:
Vamos escrever na forma de matriz porque aí não tem erro:
Passo 2
Agora vamos determinar a base para , para isso vamo igualar a zero:
Vamos montar em forma de sistema:
Podemos escolher qualquer equação para começar. Vamos fazer com a primeira:
Agora isolando , temos:
Substituindo na terceira equação:
Vamos isolar :
Temos que a base é:
Colacando em evidencia:
Temos:
Temos que a dimensão do núcleo é:
Passo 3
Para determinar , primeiro vamos fazer descobrir sua dimensão:
Como tem dimensão igual a , se usarmos os três vetores para determinar a imagem teremos um conjunto . Bora ver isso?
Vamos usamos o vetor , e reescreve-lo como soma de outros vetores:
Vamos verificar se nossos vetores são
Vamos escrever na forma de sistema:
Podemos escolher qualquer equação para começar. Vamos fazer com a primeira:
Agora isolando , temos:
Substituindo na terceira equação:
Vamos isolar :
Os três vetores são linearmente dependentes, pois .
Para que sejam linearmente independentes precisamos excluir o vetor , porque aí não temos o , e não teremos dependência. Mas, bora conferir isso?
Usando os vetores:
Vamos escrever na forma de sistema:
Então, temos a partir dos vetores e que:
Passo 4
, e
Vamos escrever um vetor qualquer e ele será formato pelas imagens:
Então vamos ter:
Agora vamos fazer o produto do vetor que encontramos pelo núcleo que temos e igualamos a zero, aí vamos ter um novo núcleo:
Temos que:
Fazendo a intersecção entre o novo núcleo e o vetor que achamos, temos:
Passo 5
Fazendo teremos a junção dos vetores em um único de vetores. Assim: