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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Reginaldo - Matrizes, Vetores e Geometria Analítica- Ed: 1º - Capítulo 5.2 - Ex. 12

Mostre que um espelho elíptico, reflete na direção de um foco, os raios que incidem na elipse vindo do outro foco, seguindo os seguintes passos:

  1. Considere a elipse x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 .Usando o fato de que um ponto da elipse pode serescrito na forma P = ( a cos ⁡ t ,   b sin ⁡ t ) , para t ∈ [ 0,2 π ) e que a inclinação da reta tangente à elipse neste ponto é d y d x =   - b cos ⁡ t a sin ⁡ t , mostre que a equação da reta tangente à elipse em P é y = b sin ⁡ t - b cos ⁡ t a sin ⁡ t ( x - a cos ⁡ t ) , t ≠ 0 , π , e que a equação da reta que passa por F 2 e é paralela ao raio que passa por F 1 depois de ser refletido em P é y = b sin ⁡ t c + a cos ⁡ t ( x - c ) .

    2. Passo 1

    Fala galerinha, tudo belezinha?

    Primeiramente, vamos apresentar a equação tangente a elipse que passa pelo ponto P .

    Sabemos que a equação de uma reta tangente é dada por y - y 0 = f ' ( x 0 ) ( x - x 0 ) , assim, consideramos P = x 0 ,   y 0 = ( a cos ⁡ t ,   b sin ⁡ t ) e f ' x 0 = d y d x = - b cos ⁡ t a sin ⁡ t .

    Então y - b sin ⁡ t =   - b cos ⁡ t a sin ⁡ t ( x - a cos ⁡ t ) .

    Logo, y = b sin ⁡ t - b cos ⁡ t a sin ⁡ t ( x - a cos ⁡ t ) , t ≠ 0 , π .

    Passo 2

    Agora, vamos descrever a equação da reta que passa pelo ponto P 0 = F 2 = ( c , 0 ) que é paralela ao raio que passa por F 1 depois de ser refletido em P .

    Sabemos que a reta que passa por F 2 é paralela a reta que passa pelos pontos F 1 e P . Agora, considere os seguintes pontos P 1 = - a cos ⁡ t ,   - b sin ⁡ t e P 2 = c , 0 , além disso, sabemos que a equação da reta é dada por y - y 0 = y 2 - y 1 x 2 - x 1 x - x 0 .

    Então y - 0 = 0 - - b sin ⁡ t c - - a cos ⁡ t ( x - c ) .

    Portanto, y = b sin ⁡ t c + a cos ⁡ t ( x - c ) .

    Resposta

    Vetores, Matrizes e Geometria Analítica-Reginaldo, Capítulo 5, seção 2, exercício 12.

    Enunciado

  2. Mostre que a interseção da reta tangente à elipse que passa por P e a reta que passa por F 2 e é paralela ao raio que passa por F 1 depois de ser refletido em P é o ponto

    3. P 1 = a c sin 2 ⁡ t + a cos ⁡ t + c a + c cos ⁡ t , b sin ⁡ t a - c cos ⁡ t a + c cos ⁡ t

    Passo 1

    Queremos determinar o ponto de interseção entre a reta tangente a elipse que passa pelo ponto P com a reta que passa pelo foco F 2 . Sabemos que a reta que passa pelo ponto P é dada por y = b sin ⁡ t - b cos ⁡ t a sin ⁡ t ( x - a cos ⁡ t ) , e a equação da reta que passa pelo ponto F 2 é dada por y = b sin ⁡ t c + a cos ⁡ t ( x - c ) .

    Para determinar o ponto de interseção vamos igualar as equações para determinar a coordenada x tal que P 1 = ( x 1 , y 1 ) , ou seja, y p = y F 2 .

    Passo 2

    y p = y F 2 ⇒   b sin ⁡ t - b cos ⁡ t a sin ⁡ t x 1 - a cos ⁡ t = b sin ⁡ t c + a cos ⁡ t x 1 - c ⇒ b sin ⁡ t - b cos ⁡ t a sin ⁡ t x 1 - b cos ⁡ t a sin ⁡ t a cos ⁡ t = b sin ⁡ t c + a cos ⁡ t x 1 - b sin ⁡ t c + a cos ⁡ t c ⇒ b sin ⁡ t - b cos ⁡ t a sin ⁡ t a cos ⁡ t + b sin ⁡ t c + a cos ⁡ t c = b sin ⁡ t c + a cos ⁡ t x 1 + b cos ⁡ t a sin ⁡ t x 1 ⇒ x 1 b sin ⁡ t c + a cos ⁡ t + b cos ⁡ t a sin ⁡ t =   b sin ⁡ t - b a cos 2 ⁡ t a sin ⁡ t + b c sin ⁡ t c + a cos ⁡ t ⇒ ⋯ ⇒

    ⇒ x 1 = a c sin 2 ⁡ t + a cos ⁡ t + c a + c cos ⁡ t

    Passo 3

    Agora, vamos encontrar a coordenada y 1 , para isso, basta substituir o valor encontrado para x 1 em qualquer uma das equações.

    Veja que

    y 1 = b sin ⁡ t c + a cos ⁡ t x 1 - c ⇒ y 1 =   b sin ⁡ t c + a cos ⁡ t a c sin 2 ⁡ t + a cos ⁡ t + c a + c cos ⁡ t - c ⇒ ⋯ ⇒  

    ⇒ y 1 =   b sin ⁡ t c + a cos ⁡ t a - c cos ⁡ t c + a cos ⁡ t a + c cos ⁡ t ⇒   y 1 =   b sin ⁡ t   ( a - c cos ⁡ t ) a + c cos ⁡ t

    Portanto, o ponto de interseção entre as retas é dado por P 1 = a c sin 2 ⁡ t + a cos ⁡ t + c a + c cos ⁡ t , b sin ⁡ t a - c cos ⁡ t a + c cos ⁡ t

    Resposta

    Vetores, Matrizes e Geometria Analítica-Reginaldo, Capítulo 5, seção 2, exercício 12.

    Enunciado

  3. Mostre que d i s t P , F 2 = d i s t P 1 , F 2 = a - c cos ⁡ t . Logo o triangulo P F 2 P 1 éisósceles e assim o angulo de reflexão do raio que passa por F 1 depois de ser refletido em P , α 1 , e o angulo de incidência do raio que se reflete em P vindo de F 2 , α 2 , são iguais. Portanto, o raio que vem de F 2 e se reflete em P necessariamente passa por F 1

(veja a Figura 5.46).

Passo 1

Vamos calcular a distância entre o ponto P e o ponto F 2 , que será a mesma medida do ponto F 2 ao P 1 .

Sabemos que as coordenadas dos pontos são: P = a cos ⁡ t ,   b sin ⁡ t e F 2 = ( c ,   0 ) , além disso, b =   a 2 - c 2 .

Passo 2

Assim,

d i s t P , F 2 =   x P - x F 2 2 + y P - y F 2 2 ⇒

⇒ d i s t P , F 2 =   a cos ⁡ t - c 2 + b sin ⁡ t - 0 2 ⇒   d i s t P , F 2 =   a 2 cos 2 ⁡ t - 2 a c cos ⁡ t + c 2 + b 2 sin 2 ⁡ t ⇒   d i s t P , F 2 =   a 2 cos 2 ⁡ t - 2 a c cos ⁡ t + c 2 + a 2 - c 2 sin 2 ⁡ t ⇒ ⋯ ⇒

d i s t P , F 2 =   a 2 - 2 a c cos ⁡ t + c 2 cos 2 ⁡ t = a - c cos ⁡ t 2 = a - c cos ⁡ t

Passo 3

Portanto, d i s t P , F 2 = d i s t P 1 , F 2 = a - c cos ⁡ t .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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