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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Reginaldo - Matrizes, Vetores e Geometria Analítica- Ed: 1º - Capítulo 5.2 - Ex. 11

Considere uma cônica com excentricidade e > 0 (que nãoé uma circunferência), que tem um foco F no polo e a reta diretriz s e paralela ou perpendicular ou eixo polar, com d   =   d i s t ( s ,   F ) . Seja p = d e 2 1 - e 2 , se a reta s estiver à direita do foco F e p = d e 2 e 2 - 1 , se a reta s estiver à esquerda do foco F .

  1. Se a reta diretriz correspondente a F e perpendicular ao eixo polar e está à direita ou àesquerda do polo, então a equação cartesiana da cônica é x + p 2 p 2 e 2 + y 2 p 2 1 - e 2 e 2 = 1

    2. Passo 1

    Falaa galera, belezinhaaa?

    Nesse exercício sabemos que e > 0 e que a a reta diretriz s é perpendicular ao eixo polar, com d = d i s t ( s , F ) , além de p = d e 2 e 2 - 1 ,se a reta s estiver à direita do foco F e p = d e 2 e 2 - 1 , se a reta s estiver à esquerda do foco F .

    Sabemos que a equação polar da cônica com e > 0 é dado por r = d e 1 - ecos ⁡ θ , se a reta s estiver à esquerda do polo, bem como, a equação polar da cônica será r = d e 1 + ecos ⁡ θ , se a reta s estiver à direita do polo.

    Veja que a equação polar r = d e 1 - ecos ⁡ θ pode ser reescrita como r = e ( d + r cos ⁡ θ ) , ou ainda, r = e ( d + x ) . Sabemos que x = r cos ⁡ θ , x 2 + y 2 = r ² , p = d e 2 e 2 - 1 , bem como d = p e 2 - 1 e 2 .

    Passo 2

    Agora, elevando ao quadrado ambos os lados da igualdade da equação r = e ( d + x ) e posteriormente completando quadrado.

    r 2 = e 2 d + x 2 ⇒ x 2 + y 2 = e 2 d 2 + 2 d x + x 2 ⇒ x 2 - e 2 x 2 - 2 e 2 d x + y 2 = e 2 d 2 ⇒ 1 - e 2 x 2 - 2 e 2 d x + y 2 = e 2 d 2 .

    Agora, dividindo a equação por ( 1 - e 2 ) , obtemos: x 2 + 2 e 2 d x e 2 - 1 + y 2 1 - e 2 = e 2 d 2 1 - e 2 que é equivalente: x 2 + 2 p x + y 2 1 - e 2 = - d p , ou ainda, x 2 + 2 p x + y 2 1 - e 2 = - p 1 - e 2 p e 2 ⇒ x 2 - 2 p x + y 2 1 - e 2 = - p 2 e 2 + p ² e 2 .

    Passo 3

    Completando quadrando...

    x + p 2 - p 2 + y 2 1 - e 2 = - p 2 e 2 + p 2 e 2 ⇒ x + p 2 + y 2 1 - e 2 = - p 2 e 2 + p 2 + e 2 p 2 e 2 ⇒ x + p 2 + y 2 1 - e 2 = p 2 e 2

    Ou ainda, na forma padrão temos que:

    x + p 2 p 2 e 2 + y 2 p 2 1 - e 2 e 2 = 1

    Resposta

    Vetores, Matrizes e Geometria Analítica-Reginaldo, Capítulo 5, seção 2, exercício 11.

    Enunciado

  2. Se a reta diretriz correspondente a F e paralela ao eixo polar e está acima ou abaixo do polo, então a equação cartesiana da cônica é

x 2 p 2 1 - e 2 e 2 + y + p 2 p 2 e 2 = 1

Passo 1

Queremos mostrar que se a reta diretriz s é paralela ao eixo polar e está acima ou abaixo do polo então a equação da cônica é x 2 p 2 1 - e 2 e 2 + y + p 2 p 2 e 2 = 1 .

Sabemos que se a reta diretriz estiver acima do polo, a equação polar da cônica é dado por r = d e 1 + e sin ⁡ θ . Lembramos que r 2 = x 2 + y ² e r sin ⁡ θ = y .

Assim, r 1 + e sin ⁡ θ = d e ⇒ r = d e - e r sin ⁡ θ , ou ainda, r = e ( d - y ) .

Passo 2

Procedendo de maneira análoga ao item ( a ) , obtemos: x 2 1 - e 2 + y + p 2 = p 2 e 2 .

Passo 3

Ou ainda, na forma padrão, x 2 p 2 1 - e 2 e 2 + y + p 2 p 2 e 2 = 1

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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