Enunciado

Considere a matriz simétrica

A = 0 1       1 0

Discuta o comportamento da sequencia de potências

x 0 ,     x 1 ⋯ x k ⋯

Com mudança de escala euclidiana com um vetor x 0 arbitrário não nulo. O que tem essa matriz para causar o comportamento observado?

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

Temos a seguinte matriz simétrica:

A = 0 1       1 0

Aplicando a escala Euclidiana à matriz A com o vetor unitário x 0 = 1 0 , temos:

A x 0 = 0 1       1 0 1 0

Então:

x 1 = A x 0 A x 0

x 1 = 0 1

Vamos calcular A x 1 ⋅ x 1 para obter a primeira aproximação ao valor do autovalor dominante:

A x 1 ⋅ x 1 = 0 1       1 0 0 1 0 1

λ 1 = 1 0 0 1 = 0

Da mesma maneira, vamos calcular a aproximação x 2 ao vetor unitário:

x 2 = A x 1 A x 1

x 2 = 1 0

Portanto:

A x 2 ⋅ x 2 = 0 1       1 0 1 0 1 0

λ 2 = 0

Passo 2

Agora para x 3 :

x 3 = A x 2 A x 2

x 3 = 0 1

Portanto:

A x 3 ⋅ x 3 = 0 1       1 0 0 1 0 1

λ 3 = 0

Temos também que:

x 4 = A x 3 A x 3

x 4 = 1 0

Portanto:

A x 4 ⋅ x 4 = 0 1       1 0 1 0 1 0

λ 4 = 0

Passo 3

A partir dos resultados, podemos dizer que eles não convergem para um valor específico.

Os valores próprios da matriz A são dados da seguinte forma:

λ 1 = 1

λ 2 = - 1

O valor absoluto de ambos os valores de eigen é o mesmo. Ou seja, não existe um autovalor dominante e, portanto, autovetores computados com a ajuda do método de potência com escala euclidiana não convergem.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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