15. (a) Use o resultado do Exercício 14 para provar que a multiplicação por uma matriz ortogonal é uma rotação ou uma reflexão seguida por uma rotação.
(b) Mostre que a multiplicação por é uma rotação se e é uma rotação ou uma reflexão seguida por uma rotação se .
Passo 1
(a) Vamos pegar um vetor pra poder multiplicar:
Como a matriz ortogonal tem duas formas... vamos primeiro multiplicar por:
Então:
Que são exatamente as equações de rotação, ne...
Passo 2
Mas a outra forma pode ser:
Então:
Que seria uma reflexão:
E a rotação:
Como queríamos demonstrar
Passo 3
(b) Vamos calcular os determinantes, ne..
Vimos que a matriz pra rotação é:
Então:
Passo 4
E a matriz para uma reflexão seguida por uma rotação é:
Então:
Resposta
Demonstração