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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 7.1 - Ex. 15

15. (a) Use o resultado do Exercício 14 para provar que a multiplicação por uma matriz ortogonal 2 × 2 é uma rotação ou uma reflexão seguida por uma rotação.

(b) Mostre que a multiplicação por A é uma rotação se det ⁡ A = 1 e é uma rotação ou uma reflexão seguida por uma rotação se det ⁡ A = - 1 .

Passo 1

(a) Vamos pegar um vetor pra poder multiplicar:

x y

Como a matriz ortogonal 2 × 2 tem duas formas... vamos primeiro multiplicar por:

cos ⁡ θ - s e n   θ s e n   θ cos ⁡ θ

Então:

x ' y ' = cos ⁡ θ - s e n   θ s e n   θ cos ⁡ θ x y

x ' y ' = x cos ⁡ θ - y   s e n   θ x   s e n   θ + y cos ⁡ θ

Que são exatamente as equações de rotação, ne...

Passo 2

Mas a outra forma pode ser:

cos ⁡ θ s e n   θ s e n   θ - cos ⁡ θ

Então:

x ' ' y ' ' = cos ⁡ θ s e n   θ s e n   θ - cos ⁡ θ x y

x ' ' y ' ' = x cos ⁡ θ + y   s e n   θ x   s e n   θ - y cos ⁡ θ

Que seria uma reflexão:

x ' y ' = x - y

E a rotação:

x ' ' y ' ' = x cos ⁡ θ - - y   s e n   θ x   s e n   θ + ( - y ) cos ⁡ θ

x ' ' y ' ' = x cos ⁡ θ + y   s e n   θ x   s e n   θ - y cos ⁡ θ

Como queríamos demonstrar

Passo 3

(b) Vamos calcular os determinantes, ne..

Vimos que a matriz A pra rotação é:

A = cos ⁡ θ - s e n   θ s e n   θ cos ⁡ θ

Então:

det ⁡ A = cos 2 ⁡ θ + s e n 2 θ

det ⁡ A = 1

Passo 4

E a matriz A para uma reflexão seguida por uma rotação é:

A = cos ⁡ θ s e n   θ s e n   θ - cos ⁡ θ

Então:

det ⁡ A = - cos 2 ⁡ θ - s e n 2 θ

det ⁡ A = - 1

Resposta

Demonstração

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