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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear e Aplicações (Reginaldo J. Santos)- Ed: 1º - Capítulo 1.Teste do Capítulo - Ex. 3

Mostre que y 1 t = e λ t , y 2 t = t e λ t são soluções linearmente independentes da equação diferencial y ' ' - 2 λ y ' + λ 2 y = 0 .

Passo 1

E aí galerinha!! Beleza? Aqui temos uma questão bem bacana de Álgebra Linear, vamos lá?

Vamos separar as condições, para a nossa resolução ficar mais fácil:

y 1 t = e λ t y 2 t = t e λ t y ' ' - 2 λ y ' + λ 2 y = 0 .

Passo 2

Agora, vamos verificar que elas resolvem a nossa equação diferencial: y ' ' - 2 λ y ' + λ 2 y = 0 .

Para a função

y 1 t = e λ t

Obtemos: y ' 1 t = λ e λ t y ' ' 1 t = λ 2 e λ t

Substituindo na EDO, temos:

y ' ' - 2 λ y ' + λ 2 y = 0 λ 2 e λ t - 2 λ λ e λ t + λ 2 e λ t = 0 λ 2 e λ t - 2 λ ² e λ t + λ 2 e λ t = 0 2 λ 2 e λ t - 2 λ ² e λ t = 0 0 = 0

Passo 3

Iremos repetir o mesmo trajeto do passo 2, saca só:Para a função

y 2 t = t e λ t

Obtemos: y ' 2 t = e λ t + λ e λ t t y ' ' 2 t = λ 2 e λ t t + 2 λ e λ t

Substituindo na EDO, temos:

y ' ' - 2 λ y ' + λ 2 y = 0

( λ 2 e λ t t + 2 λ e λ t ) - 2 λ ( e λ t + λ e λ t t ) + λ 2 ( t e λ t ) = 0

( λ 2 e λ t t + 2 λ e λ t ) - 2 λ ( e λ t + λ e λ t t ) + λ 2 ( t e λ t ) = 0 λ 2 e λ t t + 2 λ e λ t - 2 λ e λ t - 2 λ ² e λ t t + λ 2 t e λ t = 0

λ 2 e λ t t + 2 λ e λ t - 2 λ e λ t - 2 λ ² e λ t t + λ 2 e λ t t = 0

2 λ 2 e λ t t + 2 λ e λ t - 2 λ e λ t - 2 λ ² e λ t t = 0

2 λ 2 e λ t t - 2 λ ² e λ t t + 2 λ e λ t - 2 λ e λ t = 0 0 = 0

Passo 4

Pessoal, um ponto importante para continuarmos o exercício, é entender qual a necessidade de igualar a 0. Para sabermos se as equações dadas, satisfazem a nossa equação que é a equação diferencial que o exercício dá, elas precisam dar o resultado 0. Com isso, sabemos que elas satisfazem e podemos continuar a prosseguir com o mesmo, é só uma explicação para que vocês não se sintam perdidos.

Passo 5

Agora, iremos montar a matriz, o resultado dela influenciará direto na resposta do exercício, para que seja linearmente dependente o mesmo tem que ser ≠ 0 , caso contrário, não é linearmente dependente, vamos lá!

e λ t t e λ t λ e λ t e λ t + λ e λ t t ≠ 0

( e λ t ∙ ( e λ t + λ e λ t t ) ) - ( t e λ t ∙ λ e λ t ) ≠ 0

( e 2 λ t + λ e 2 λ t t ) - ( λ e 2 λ t t ) ≠ 0

e 2 λ t + λ e 2 λ t t - λ e 2 λ t t ≠ 0 e 2 λ t ≠ 0

Encontramos a solução da matriz, assim, concluímos o nosso exercício e provamos que as duas equações são linearmente independentes da equação diferencial.

Essa resolução te ajudou? Responde Aí! Até a próxima, tchaaaaau!!

Resposta

e 2 λ t ≠ 0

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