Considere dois vetores V e W tais que V = 5 , W = 2 e o ângulo entre V e W e 60 ° . Determine, como combinação linear de V e W, (xV + yW):

  1. Um vetor X tal que X · V = 20 e X · W = 5
  2. Um vetor X tal que X × V = 0 e X · W = 12

Passo 1

E aí pessoal, belezinha? Vamos trabalhar agora em algumas questões de geometria analítica.

Para responder ao questionamento do enunciado, devemos usar os produtos vetorial e escalar dados e escrever uma equação para os coeficientes x e y:

X × V = 0 = > x V + y W × V = 0 = > x V × V + y W × V = 0

Sabemos que:

W × V = W V sen ⁡ θ = 5 ∙ 2 ∙ sen ⁡ 60 ° = 10 ∙ 3 2 = 5 3

E que:

V × V = 0

A equação fica reescrita como:

x V × V + y W × V = 0 = > 5 3 y = 0 = > y = 0

Usando o produto escalar fornecido temos:

X ∙ W = 12 = > x V + y W ∙ W = 12 = > x V ∙ W + y W ∙ W = 12

Sabemos que:

V ∙ W = V W cos ⁡ θ = 2 ∙ 5 ∙ cos ⁡ 60 ° = 10 ∙ 1 2 = 5

E que:

W ∙ W = W W cos ⁡ 0 ° = W 2 = 2 2 = 4

A equação fica reescrita como:

x V ∙ W + y W ∙ W = 12 = > 5 x + 4 y = 12

Passo 2

Temos o sistema:

y = 0 5 x + 4 y = 12

Resolvendo o sistema:

5 x = 12 = > x = 12 5

O vetor X é dado por:

X = 1 2 5 V

Resposta

X = 12 5 V .

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