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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Um curso de geometria analítica e álgebra linear, Reginaldo J. Santos- Ed: 1º - Capítulo 3.2 - Ex. 14

Sabe-se que o vetor X é ortogonal a i → + j → e a - i → + k → , tem norma 3 e sendo θ o ângulo entre X e j → , tem-se cos θ > 0. Ache X.

Passo 1

E aí pessoal, belezinha? Vamos trabalhar agora em algumas questões de geometria analítica.

Para responder ao questionamento do enunciado, devemos lembrar que o produto escalar de dois vetores ortogonais é igual a zero. Fazendo X = (a, b, c) teremos que:

a ,   b ,   c ∙ 1 ,   1 ,   0 = 0 = > a + b = 0

a ,   b ,   c ∙ - 1 ,   0 ,   1 = 0 = > - a + c = 0

Da norma de X temos que:

X = a 2 + b 2 + c 2 = 3 = > a 2 + b 2 + c 2 = 3

Usando b = -a e c = a nessa última equação obtida teremos:

a 2 + - a 2 + a 2 = 3 = > 3 a 2 = 3 = > a 2 = 1 = > a = ± 1

Sabendo que o cosseno de θ é positivo faremos:

cos ⁡ θ = a ,   b ,   c ∙ 0 ,   1 ,   0 a 2 + b 2 + c 2 0 2 + 1 2 + 0 2 = 0 + b + 0 a 2 + b 2 + c 2 = b a 2 + b 2 + c 2 > 0

= > b > 0

A partir do valor de a teremos que:

S e   a = 1 = > b = - 1   e   c = 1   ( Q u e   n ã o   s a t i s f a z   b > 0 )

S e   a = - 1 = > b = 1   e   c = - 1

Logo, temos que X é dado por:

X = ( - 1 ,   1 ,   - 1 )

Resposta

X = ( - 1 ,   1 ,   - 1 ) .

Exercícios de Livros Relacionados

(a) Conclua que S (omega) = S (omega_i j)^2 + S (omega_i k)^2 + S (omega_j k)^2 .
(c) Aplique (b) ao caso em que vec u = (1 , - 3 , 1)_B e vec v (- 3 , 3 , 3)_B .
(d) Seja E = ( a → , b → , c → ) a base obtida da base ( u → , v → , w → ) pelo Processo de Ortonormalização de Gram-Schmidt ( u → , v → e w → são os do item (c)). Dados x → = 1 ,1 ,2 E e y → = 0 ,2 ,
(a) Dados os vetores linearmente independentes u → e v → , descreva, em termos do produto vetorial u → ∧ v → , o conjunto A dos vetores ortogonais a u → e a v → .
Resolva os sistemas:(a) {[[vec x ^^ (vec i + vec j) = - vec i + vec j],[vec x . (vec i + vec j) = 2]])