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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Um curso de geometria analítica e álgebra linear, Reginaldo J. Santos- Ed: 1º - Capítulo 3.2 - Ex. 16a

Considere dois vetores V e W tais que V = 5 , W = 2 e o ângulo entre V e W e 60 ° . Determine, como combinação linear de V e W, (xV + yW):

  1. Um vetor X tal que X · V = 20 e X · W = 5
  2. Um vetor X tal que X × V = 0 e X · W = 12

Passo 1

E aí pessoal, belezinha? Vamos trabalhar agora em algumas questões de geometria analítica.

Para responder ao questionamento do enunciado, devemos usar os produtos escalares dados e escrever uma equação para os coeficientes x e y:

X ∙ V = 20 = > x V + y W ∙ V = 20 = > x V ∙ V + y W ∙ V = 20

Sabemos que:

W ∙ V = W V cos ⁡ θ = 5 ∙ 2 ∙ cos ⁡ 60 ° = 10 ∙ 1 2 = 5

E que:

V ∙ V = V V cos ⁡ 0 ° = V 2 = 5 2 = 25

A equação fica reescrita como:

x V ∙ V + y W ∙ V = 20 = > 25 x + 5 y = 20   o u   5 x + y = 4

Usando o segundo produto escalar fornecido temos:

X ∙ W = 5 = > x V + y W ∙ W = 5 = > x V ∙ W + y W ∙ W = 5

Sabemos que:

V ∙ W = V W cos ⁡ θ = 2 ∙ 5 ∙ cos ⁡ 60 ° = 10 ∙ 1 2 = 5

E que:

W ∙ W = W W cos ⁡ 0 ° = W 2 = 2 2 = 4

A equação fica reescrita como:

x V ∙ W + y W ∙ W = 5 = > 5 x + 4 y = 5

Passo 2

Temos o sistema:

5 x + y = 4 5 x + 4 y = 5

Resolvendo o sistema fazendo (II) – (I) teremos:

5 x + 4 y = 5 - 5 x + y = 4 = > 3 y = 1 = > y = 1 3

Substituindo esse resultado em uma das equações encontramos o valor de x:

5 x + 1 3 = 4 = > 5 x = 4 - 1 3 = > 5 x = 11 3 = > x = 11 15

O vetor X é dado por:

X = 11 15 V + 1 3 W

Resposta

X = 11 15 V + 1 3 W .

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