17.Sejam ABCD um quadrilátero, O ponto qualquer e P o ponto médio que une os pontos médios da diagonais A C e B D .Prove que 4 O P → = O A → + O B → + O C → + O D →

Passo 1

Vamos reescrever todos os vetores:

O A → , O B → , O C → e   O D →

Passo 2

Vamos começar reescrevendo O A → .

O A → = O P → + P A →

Vamos reescrever O B → , da mesma forma que O A → .

O B → = O P → + P B →

Vamos reescrever O C → , da mesma forma que O A → .

O C → = O P → + P C →

Vamos reescrever O D → , da mesma forma que O A → .

O D → = O P → + P D →

Agora vamos somar todos esses vetores.

O A → + O B → + O C → + O D → = O P → + P A → + O P → + P B → + O P → + P C → + O P → + P D →

O A → + O B → + O C → + O D → = 4 O P → + P A → + P B → + P C → + P D →

Passo 3

Paramos nessa expressão.

O A → + O B → + O C → + O D → = 4 O P → + P A → + P B → + P C → + P D →

Vamos desenhar esse quadrilátero com as diagonais.

O ponto P é o ponto médio.

P B → + P D → = 0 → , já que esses vetores são opostos.

P A → + P D → = 0 → , já que esses vetores são opostos.

Então:

O A → + O B → + O C → + O D → = 4 O P → + ( 0 → ) + ( 0 → )

O A → + O B → + O C → + O D → = 4 O P →

Prontoo! Demonstramos aquilo do enunciado.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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