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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 3.Exercício - Ex. 12

12. Métodos para resolver sistemas lineares tais como a Regra de Cramer e o escalonamento valem para sistemas lineares vetoriais. Utilize-os para resolver o sistema nas incógnitas x → , y →   e   z → :

x → + y → - z → = u → + v → x → - y → + z → = u → - v → - x → + y → + z → = 0 →

Passo 1

Nós já vimos por todas as questões passadas que as operações fundamentais tem a mesma regra nos vetores e nos número reais. Então, faremos essas duas questões de forma direta, sem citar as propriedades que estamos usando. Afinal de contas, você faz isso nos números reais. Vamos lá!

Passo 2

Vamos fazer inicialmente por cramer. Vamos determinar o determinante principal:

∆ = 1 1 - 1 1 - 1 1 - 1 1 1

Fazendo esse determinante por Sarrus, temos:

∆ = - 1 - 1 - 1 + 1 - 1 - 1

∆ = - 4

Agora faremos o determinante relativo a cada variável para isso.

∆ x = u → + v → 1 - 1 u → - v → - 1 1 0 1 1

Fazendo esse determinante por Sarrus.

∆ x = - u → - v → + 0 - u → + v → - u → + v → - u → - v →

∆ x = - 4 u →

Agora o determinante relativo a y .

∆ y = 1 u → + v → - 1 1 u → - v → 1 - 1 0 1

Fazendo esse determinante por Sarrus.

∆ y = u → - v → - u → - v → + 0 - u → + v → + 0 - u → - v →

∆ y = - 2 v → - 2 u →

Para determinar essa parte faremos o determinante relativo a z .

∆ z = 1 1 u → + v → 1 - 1 u → - v → - 1 1 0

Fazendo esse determinante por Sarrus.

∆ z = 0 - u → + v → + u → + v → - u → - v → - u → + v → - 0

∆ z = - 2 u → + 2 v →

Agora, para acharmos as variáveis precisamos dividir cada determinante relativo a variável pelo determinante principal. Assim:

x = ∆ x ∆ = - 4 u → - 4 = u →

y = ∆ y ∆ = - 2 v → - 2 u → - 4 = u → + v → 2

z = ∆ z ∆ = + 2 v → - 2 u → - 4 = u → - v → 2

Passo 3

Agora vamos fazer por escalonamento, vamos escrever a matriz completa:

1 1 - 1 1 - 1 1 - 1 1 1         u → + v → u → - v → 0

Vamos fazer a 2° linha menos a primeira:

L 2 → L 2 - L 1 1 1 - 1 1 - 1 - 1 - 1 1 + 1 - 1 1 1         u → + v → u → - v → - u → - v → 0 =

1 1 - 1 0 - 2 2 - 1 1 1         u → + v → - 2 v → 0

Vamos fazer a 3° linha mais a primeira:

L 3 → L 3 + L 1

1 1 - 1 0 - 2 2 - 1 + 1 1 + 1 - 1 + 1         u → + v → - 2 v → 0 + u → + v → =

  1 1 - 1 0 - 2 2 0 2 0         u → + v → - 2 v → u → + v →

Trocando a segundo coluna pela terceira, temos:

Voltando para a expressão do sistema, temos:

x → + y → - z → = u → + v → - 2 y → + 2 z → = - 2 v → 2 y → = u → + v →

Tiramos da expressão que y → = u → + v → / 2

Substituindo y → na segunda equação, temos:

- u → - v → + 2 z → = - 2 v →

2 z → = - 2 v → + u → + v →

2 z → = u → - v →

z → = u → - v → 2

Substituindo y → e z → na primeira equação.

x → + u → + v → 2 - u → - v → 2 = u → + v →

x → + 2 v → 2 = u → + v →

x → + v → = u → + v →

x → = u →

Resposta

x → = u →

y → = u → + v → 2

z → = u → - v → 2

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