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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 1.Exercícios Suplementares - Ex. 16

(Requer Cálculo)Encontre valores de a , b e c tais que o gráfico do polinômio p x = a x 2 + b x + c passe pelo ponto ( - 1 ,   0 ) , e tem uma tangente horizontal em 2 ,   - 9 .

Passo 1

Nessa questão, temos que substituir os pontos ( - 1 ,   0 ) e ( 2 ,   - 9 ) , em

p x = a x 2 + b x + c para obtermos uma equação com os parâmetros a , b e c .

Substituindo em   p x = a x 2 + b x + c :

0 = a - 1 2 + b - 1 + c 0 = a - b + c

- 9 = a 2 2 + b 2 + c - 9 = 4 a + 2 b + c

Passo 2

Como temos que analisar um ponto tangente, vamos derivar p ( x ) e igualar a 0

p x = a x 2 + b x + c

p ' x = 2 a x + b

p ' x = 0         →           2 a x + b = 0

Vamos substituir x = 2 , coordenada do ponto tangente, para obter a terceira equação

4 a + b = 0

Passo 3

Vamos usar para obter a - b + c = 0 4 a + 2 b + c = - 9 4 a + b = 0 mos uma matriz ampliada

a - b + c = 0 4 a + 2 b + c = - 9 4 a + b = 0         →           1 4 4 - 1 2 1 1 1 0 0 - 9 0

Passo 4

Agora, vamos usar da eliminação de Gauss-Jordan para resolver a matriz ampliada:

1 4 4 - 1 2 1 1 1 0 0 - 9 0 → L 3 → L 3 - L 2 1 4 0 - 1 2 - 1 1 1 - 1 0 - 9 9

1 4 0 - 1 2 - 1 1 1 - 1 0 - 9 9 → L 2 → L 2 - 4 L 1 1 0 0 - 1 6 - 1 1 - 3 - 1 0 - 9 9

1 0 0 - 1 6 - 1 1 - 3 - 1 0 - 9 9 → L 2 → 1 6 L 2 1 0 0 - 1 1 - 1 1 - 1 / 2 - 1 0 - 3 / 2 9

1 0 0 - 1 1 - 1 1 - 1 / 2 - 1 0 - 3 / 2 9 → L 1 → L 1 + L 2 L 3 → L 3 + L 2 1 0 0 0 1 0 1 / 2 - 1 / 2 - 3 / 2 - 3 / 2 - 3 / 2 15 / 2

1 0 0 0 1 0 1 / 2 - 1 / 2 - 3 / 2 - 3 / 2 - 3 / 2 15 / 2 → L 3 → - 2 3 L 3 1 0 0 0 1 0 1 / 2 - 1 / 2 1 - 3 / 2 - 3 / 2 - 5

1 0 0 0 1 0 1 / 2 - 1 / 2 1 - 3 / 2 - 3 / 2 - 5 → L 1 → L 1 - 1 2 L 3 L 2 → L 2 + 1 2 L 3 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 - 4 - 5

Logo, a = 1 , b = - 4 e c = - 5

Resposta

Logo, a = 1 , b = - 4 e c = - 5

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