1. Para resolver esse item não há mistério: devemos verificar se as propriedades do espaço vetoriais pertencem a esse conjunto.

Passo 2

Na página estão descritas as propriedades que um espaço vetorial deve satisfazer. As funções com derivadas contínuas resultam em números reais, do que temos que as propriedades de a devem ser satisfeitas pelas funções, sendo a função nula o elemento neutro desse espaço.

Passo 3

2. Para mostrar que e são subespaços vetoriais, devemos mostrar que eles são fechados para a soma e para a multiplicação por escalar.

Passo 4

Para , devemos mostrar que a soma de funções pares com derivadas contínuas é uma função par com derivadas contínuas e o mesmo para o produto por escalar.

Sejam pertencentes a . Então:

Além disso, sejam as derivadas dessas funções, que são contínuas. Então:

Como é a soma de funções contínuas, segue que ela é contínua.

Logo, é uma função par com derivada contínua, do que a gente tem que .

Passo 5

Seja agora , então:

Além disso:

Como é o produto de um escalar por uma função contínua, segue que também é contínua.

Dessa forma, .

Considerando esse passo e o anterior, a gente pode concluir que é fechado para soma e multiplicação por escalar, do que segue que ele é um subspaço de .

Passo 6

Procedendo de maneira completamente análoga, chega-se a mesma conclusão para .

Passo 7

3. O que o problema nos pede é: é possível representar todas as funções com derivadas contínuas como a soma de duas funções, uma par e uma ímpar?

Para responder essa pergunta, vamos investigar se dada , existem duas funções e tais que:

Veja que:

Somando as duas equações a gente tem:

E substituindo na primeira equação, a gente obtém:

Ou seja, dada uma função de , basta escolher como encontrado acima.