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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 3ª Edição - J. L. Boldrini- Ed: 3º - Capítulo 4.8 - Ex. 3

Responda se os subconjuntos abaixo são subespaços de M 2,2 . Em caso afirmativo exiba geradores.

  1. V = a b c d   c o m   a , b , c , d ∈ R   e   b = c
  2. W = { a b c d   c o m   a , b , c , d ∈ R   e   b = c + 1 }

Passo 1

  1. O primeiro passo é escrever um vetor qualquer de V , usando a condição de que b = c :

    2. u = a b b d

    Vamos conferir se a soma também obdece isso. Seja w outro vetor de V . Então:

    u + w = a b b d + p q q r = a + p b + q b + q d + r

    Observe que soma também obedece a condição. Então: u + w ∈ V .

    Passo 2

    Vamos conferir se a multiplicação por escalar obedece isso. Seja

    u = a b b d

    Se k ∈ R , então:

    k u = k a b b d = k a k b k b k d

    Veja que k u também obedeve a condição de V . Logo, k u ∈ V .

    Passo 3

    Para exibirmos geradores, vamos analisar o vetor mais geral de V :

    a b b d = a 1 0 0 0 + b 0 1 1 0 + d 0 0 0 1

    Veja que todos os vetores de V podem ser escritos como combinação linear de:

    1 0 0 0 ,   0 1 1 0   e 0 0 0 1

    Que são geradores do subspaço V .

    Passo 4

  2. Primeiramente vamos escrever um vetor qualquer de W :

u = a c + 1 c d

Nesse item a gente nem precisa fazer conta alguma, pois o vetor nulo deve pertencer ao subspaço e nesse caso, se tormarmos a = c = d = 0 teríamos:

0 1 0 0

Ou seja, o vetor nulo não pertence a esse conjunto, do que segue que ele não pode ser um subspaço.

Resposta

  1. É subspaço. Geradores: 1 0 0 0 ,   0 1 1 0 , 0 0 0 1 .
  2. Não é subspaço.
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