Responda se os subconjuntos abaixo são subespaços de . Em caso afirmativo exiba geradores.
Passo 1
- O primeiro passo é escrever um vetor qualquer de , usando a condição de que :
- Primeiramente vamos escrever um vetor qualquer de :
Vamos conferir se a soma também obdece isso. Seja outro vetor de . Então:
Observe que soma também obedece a condição. Então: .
Passo 2
Vamos conferir se a multiplicação por escalar obedece isso. Seja
Se , então:
Veja que também obedeve a condição de . Logo, .
Passo 3
Para exibirmos geradores, vamos analisar o vetor mais geral de :
Veja que todos os vetores de podem ser escritos como combinação linear de:
Que são geradores do subspaço .
Passo 4
Nesse item a gente nem precisa fazer conta alguma, pois o vetor nulo deve pertencer ao subspaço e nesse caso, se tormarmos teríamos:
Ou seja, o vetor nulo não pertence a esse conjunto, do que segue que ele não pode ser um subspaço.
Resposta
- É subspaço. Geradores:.
- Não é subspaço.