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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 3ª Edição - J. L. Boldrini- Ed: 3º - Capítulo 4.8 - Ex. 34

Volte a 4.7.2 e mostre efetivamente que ([I]_(beta)^(beta^'))^(- 1) = [I]_(beta^')^(beta) .

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

Vamos fazer algumas considerações. Seja:

beta = {(1,0) , (0,1)}

beta^' = {(- 1,1) , ( 1,1 )}

O primeiro passo para resolver esse item é escrever os elementos de beta^' como combinação linear dos elementos da base beta . Temos que:

(- 1,1) = - 1 (1,0) + 1 ( 0,1 )

(1,1) = 1 (1,0) + 1 ( 0,1 )

Portanto, a matriz mudança de base de beta para beta_1 é:

[I]_(beta)^(beta^') = [[[- 1],[1]] [[1],[1]]]

A matriz [I]_(beta^')^(beta) seria então:

(1,0) = - (1)/(2) (- 1,1) + (1)/(2) (1,1)

(0,1) = (1)/(2) (- 1,1) + (1)/(2) (1,1)

Logo:

[I]_(beta^')^(beta) = [[[- (1)/(2)],[(1)/(2)]] [[(1)/(2)],[(1)/(2)]]]

Passo 2

Agora que descobrimos as matrizes mudança de base para cada situação, vamos aplicar a inversa para provar o teorema:

([I]_(beta)^(beta^'))^(- 1) = [I]_(beta^')^(beta)

[I]_(beta)^(beta^') * [I]_(beta^')^(beta) = I

[[[- 1],[1]] [[1],[1]]] * [[[a],[b]] [[c],[d]]] = [[[1],[0]] [[0],[1]]]

[[[- a + b],[- c + d]] [[a + b],[c + d]]] = [[[1],[0]] [[0],[1]]]

- a + b = 1

a + b = 0

- c + d = 0

c + d = 1

Temos que:

- a = b

2 b = 1

b = (1)/(2)

a = - (1)/(2)

c = d

2 d = 1

c = d = (1)/(2)

Logo:

[I]_(beta^')^(beta) = [[[- (1)/(2)],[(1)/(2)]] [[(1)/(2)],[(1)/(2)]]]

Logo:

([I]_(beta)^(beta^'))^(- 1) = [I]_(beta^')^(beta)

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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