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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 3ª Edição - J. L. Boldrini- Ed: 3º - Capítulo 4.8 - Ex. 32

Sejam β 1 = 1,0 , 0,2 , β 2 = - 1,0 , 1,1 e β 3 = - 1 , - 1 , 0 , - 1 três bases ordenadas de R 2 .

  1. Ache:

    2. i ) I β 1 β 2 i i ) I β 2 β 3 i i i ) I β 1 β 3 i v ) I β 1 β 2   ⋅ I β 2 β 3

  2. Se for possível, dê uma relação entre estas matrizes de mudança de base.

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

Item a):

O primeiro passo para resolver esse item é escrever os elementos de β 2 como combinação linear dos elementos da base β 1 . Temos que:

- 1,0 = - 1 1,0 + 0 ( 0,2 )

1,1 = 1 1,0 + 1 2 ( 0,2 )

Portanto, a matriz mudança de base de β 2 para β 1 é:

I β 1 β 2 = - 1 0     1 1 / 2  

Agora é só seguir esse passo para todos os itens;

Passo 2

i i :

Vamos escrever os elementos de β 3 como combinação linear dos vetore da base β 2 :

- 1 , - 1 = 0 - 1 , 0 - 1 1 , 1

0 , - 1 = - 1 - 1,0 - 1 1,1

Portanto, a matriz mudança de base de β 3 para β 2 é:

I β 2 β 3 = 0 - 1       - 1 - 1

Passo 3

i i i :

Temos que, para I β 1 β 3 :

- 1 , - 1 = - 1 1,0 - 1 2 ( 0,2 )

0 , - 1 = 0 1,0 - 1 2 ( 0,2 )

Portanto, a matriz mudança de base de β 3 para β 1 é:

I β 1 β 3 = - 1 - 1 2       0 - 1 2

Passo 4

E para o item i v , temos:

I β 1 β 2   ⋅ I β 2 β 3

I β 1 β 2   ⋅ I β 2 β 3 = - 1 0     1 1 / 2   ⋅ 0 - 1       - 1 - 1

Logo:

I β 1 β 2   ⋅ I β 2 β 3 = - 1 ⋅ 0 + 1 ⋅ - 1 0 ⋅ 0 + 1 2 ⋅ - 1     - 1 ⋅ - 1 + 1 ⋅ - 1 0 ⋅ - 1 + 1 2 ⋅ - 1  

I β 1 β 2   ⋅ I β 2 β 3 = - 1 - 1 / 2     0 - 1 / 2  

Passo 5

Observe que o produto das matrizes I β 1 β 2   ⋅ I β 2 β 3 é igual a matriz I β 1 β 3 e isso não foi coincidência.

O que acontece aqui são duas mudanças de base sucessivas, a primeira da base β 3 para β 2 e a segunda da base β 2 para β 1 , ou seja, ocorreu a mudança de base de β 3 para β 1 .

Portanto, podemos concluir que:

I β 1 β 2   ⋅ I β 2 β 3 = I β 1 β 3

Resposta

a ) i ) I β 1 β 2 = - 1 0     1 1 / 2   i i ) I β 2 β 3 = 0 - 1       - 1 - 1 i i i ) I β 1 β 3 = - 1 - 1 2       0 - 1 2 i v ) I β 1 β 2   ⋅ I β 2 β 3 = - 1 - 1 / 2     0 - 1 / 2  

b )   I β 1 β 2   ⋅ I β 2 β 3 = I β 1 β 3

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Determinar a dimensão e uma base para cada um dos espaços vetoriais:c) { ( x , y ) ∈ I R 2 / x + y = 0 }
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