Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 9.1 - Ex. 8
Encontre a decomposição LU da matriz de coeficientes e, depois, use o método do Exemplo 1 para resolver o sistema.
Passo 1
Vamos lembrar que a fatoração LU possui duas matrizes:
- L: é uma matriz triangular inferior e possui a diagonal principal com o número 1
- U: é uma matriz triangular superior
Tá, mais ainda não conseguiu enxergar? Se lembre o que o triângulo são os números, e não o zero! Vejamos um exemplo:
Lembrando que podem ser quaisquer números!
Maaaas, você reparou que as matrizes estão diferentes da LU?
É isso que o exercício quer! Ele quer como no exemplo e como como a fatoração LU!
Passo 2
A matriz que vamos decompor em LU é
Agora vamos fazer um escalonamento, e percebemos que temos de zerar 3, -2 e -4.
Passo 3
O nosso pivô será o -1 da primeira linha, e temos que zerar com o 3, então vamos pegar seu oposto (-3), o mesmo raciocínio vale para o -4.
Então multiplicaremos a primeira linha pelo valor que encontramos pela segunda linha
Maas quando for passar a matriz, a linha que estamos multiplicando sempre copiamos!
E agora usando o beta para zerar
E com 1 como pivô e o oposto de 2
Assim
Temos a matriz U!
Passo 4
Agora, para a gente montar a matriz L, temos que lembrar como ela é:
Assim, entramos em outro sistema de equações:
Logo
Substituímos os valores encontrados:
Passo 5
Vamos fazer o método no qual está escrito no exemplo do exercício, começando com o escalonamento. A diferença que normalmente fazemos e escalonamento por “baixo”, dessa vez faremos por “cima”, e o multiplicador será:
Então
Ficando assim
Passo 6
Agora a segunda matriz terá esse formato:
Colocando as incógnitas em um sistema, teremos
Mas se você perceber que
Ou seja, não é possível resolver as matrizes dessa forma.
Passo 7
Finalmente resolvendo o sistema
Assim
Simplificando as linhas das matrizes temos