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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear e Aplicações (Reginaldo J. Santos)- Ed: 1º - Capítulo 2.1 - Ex. 5

Considere o subconjunto B =   1 ,   t ,   t 2 - 1 3 do espaço V =   C 0 - 1 ,   1 das funções contínuas do intervalo - 1,1 em R . a) Mostre que o conjunto B é ortogonal em relação ao produto interno < f , g >   =   ∫ - 1 1 f t g t d t

Este conjunto é uma base do subespaço P 2 dos polinômios de grau menor ou igual a 2? Por quê? b) Determine um conjunto ortonormal de funções C =   q 0 , q 1 , q 2 formado por múltiplos escalares dos vetores do conjunto B .c) Escreva o polinômio 1 + t + t ² como combinação linear dos elementos de B .d) Escreva o polinômio a + b t + c t ² como combinação linear dos elementos de B .

Passo 1

E aí galerinha!! Beleza? Aqui temos uma questão bem bacana de Álgebra Linear, vamos lá?

Vamos separar as condições, para a nossa resolução ficar mais fácil:

< f , g >   =   ∫ - 1 1 f t g t d t

B = 1 ,   t ,   t 2 - 1 3

Passo 2

Pessoal, vamos resolver o primeiro questionamento do exercício, que pede: mostre que o conjunto B é ortogonal em relação ao produto interno < f , g >   =   ∫ - 1 1 f t g t d t

Este conjunto é uma base do subespaço P 2 dos polinômios de grau menor ou igual a 2? Por quê?

Primeiramente, vamos quantificar o nosso conjunto B para realizarmos os nossos cálculos: p 0 = 1 p 1 = t

p 2 = t 2 - 1 3 S h o w   d e m a i s ,   l e m b r a n d o   q u e   e s t a m o s   t r a b a l h a n d o   c o m   a   v a r i á v e l   “ p ” ,   p o r   i s s o   a s   q u a n t i f i c a ç õ e s   e m   “ p ” . G a l e r a ,   p a r a   s a b e r m o s   s e   o   d e t e r m i n a d o   c o n j u n t o   é   u m a   b a s e   d o   s u b s e s p a ç o   P 2 , basta realizarmos as integrais dos seguintes vetores: ∫ - 1 1 f t g t d t ( p 0 ∙ p 1 ,   - 1 ,   1 ) ∫ - 1 1 f t g t d t ( p 0 ∙ p 2 ,   - 1 ,   1 ) ∫ - 1 1 f t g t d t ( p 1 ∙ p 2 ,   - 1 ,   1 )

Integral 1: ∫ - 1 1 f t g t d t ( p 0 ∙ p 1 ,   - 1 ,   1 )

∫ - 1 1 f t g t d t ( p 0 ∙ p 1 ,   - 1 ,   1 )

∫ - 1 1 ( 1 ∙ t ,   - 1 ,   1 ) d t ∫ - 1 1 ( t ,   - 1 ,   1 ) d t = 0 Integral 2: ∫ - 1 1 f t g t d t ( p 0 ∙ p 2 ,   - 1 ,   1 ) ∫ - 1 1 f t g t d t ( p 0 ∙ p 2 ,   - 1 ,   1 )

∫ - 1 1 ( 1 ∙ t 2 - 1 3 ,   - 1 ,   1 ) d t

∫ - 1 1 ( t 2 - 1 3 ,   - 1 ,   1 ) d t = 0

Integral 3: ∫ - 1 1 f t g t d t ( p 1 ∙ p 2 ,   - 1 ,   1 )

∫ - 1 1 f t g t d t ( p 1 ∙ p 2 ,   - 1 ,   1 )

∫ - 1 1 ( t ∙ t 2 - 1 3 ,   - 1 ,   1 ) d t ∫ - 1 1 ( t 3 - 1 3 ,   - 1 ,   1 ) d t = 0

Portanto, os novos vetores do conjunto resultante das integrais é: P = 0,0 , 0

O conjunto representa uma base no P 2 , devido ao fato que é um conjunto ortogonal, logo é L.I, além disso, é um subconjunto de P 2 L.I, com 3 vetores, logo, é uma base de P 2 , devido ao fato que a sua dimensão é igual a 3.

Passo 3

Show demais!! Agora vamos para o segundo questionamento do exercício, no qual ele pede: determine um conjunto ortonormal de funções C =   q 0 , q 1 , q 2 formado por múltiplos escalares dos vetores do conjunto B .Para resolver, esse questionamento, primeiramente vamos calcular a norma das integrais de cada vetor do conjunto B. v =   ∫ - 1 1 f t g t d t V e t o r : n 0 n 0 =   ∫ - 1 1 f t g t d t ( p 0 ² ,   - 1 ,   1 )

n 0 =   ∫ - 1 1 ( 1 ² ,   - 1 ,   1 ) d t

n 0 =   2

Vetor: n 1 n 1 =   ∫ - 1 1 f t g t d t ( p 1 ² ,   - 1 ,   1 )

n 1 =   ∫ - 1 1 ( t ² ,   - 1 ,   1 ) d t

n 1 =   1 3 6

n 1 =   1 3 6

Vetor: n 2 n 2 =   ∫ - 1 1 f t g t d t ( p 2 ² ,   - 1 ,   1 )

n 2 =   ∫ - 1 1 t 2 - 1 3 2 ,   - 1 ,   1 d t

n 2 =   1 45 8 ∙ 45

Para chegarmos ao nosso resultado, iremos construir três vetores “q”, dividindo cada vetor “p” pela sua norma, chega mais:

q 0 =   p 0 n 0

q 0 =   1 2

q 0 =   2 2

q 1 =   p 1 n 1

q 1 =   t 1 3 6

q 1 =   6 2

q 2 =   p 2 n 2

q 2 =   t 2 - 1 3 1 45 8 ∙ 45

q 2 =   8 45 t 2 - 1 3

Passo 4

Galera, estamos quaaaaaaaaaaaaase lá! Vamos para o próximo questionamento em que ele pede: escreva o polinômio 1 + t + t ² como combinação linear dos elementos de B .

Vamos chamar o nosso polinômio de g, apenas uma letra arbitrária que eu escolhi, você pode escolher a letra que quiser!

g = 1 + t + t ² Agora iremos realizar as seguintes integrações: Vetor: p 0 ∫ - 1 1 f t g t d t ( g ∙ p 0 ,   - 1 ,   1 )

∫ - 1 1 ( ( 1 + t + t 2 ) ∙ 1 ,   - 1 ,   1 ) d t

∫ - 1 1 ( ( 1 + t + t 2 ) ∙ 1 ,   - 1 ,   1 ) d t =   8 3

Vetor: p 1

∫ - 1 1 f t g t d t ( g ∙ p 1 ,   - 1 ,   1 )

∫ - 1 1 ( ( 1 + t + t 2 ) ∙ t ,   - 1 ,   1 ) d t

∫ - 1 1 ( ( 1 + t + t 2 ) ∙ t ,   - 1 ,   1 ) d t =   2 3

Vetor: p 2

∫ - 1 1 f t g t d t ( g ∙ p 2 ,   - 1 ,   1 )

∫ - 1 1 ( ( 1 + t + t 2 ) ∙ t ,   - 1 ,   1 ) d t

∫ - 1 1 ( ( 1 + t + t 2 ) ∙ t 2 - 1 3 ,   - 1 ,   1 ) d t =   8 45

Vetor: p 0 ² ∫ - 1 1 f t g t d t ( p 0 ² ,   - 1 ,   1 )

∫ - 1 1 ( 1 ² ,   - 1 ,   1 ) d t

∫ - 1 1 ( 1 ,   - 1 ,   1 ) d t =   2

Vetor: p 1 ² ∫ - 1 1 f t g t d t ( p 1 ² ,   - 1 ,   1 )

∫ - 1 1 t 2 ,   - 1 ,   1 d t = 2 3

Vetor: p 2 ² ∫ - 1 1 f t g t d t ( p 2 ² ,   - 1 ,   1 )

∫ - 1 1 t 2 - 1 3 2 ,   - 1 ,   1 d t = 8 45  

Para finalizar, iremos dividir p 0,1 , 2 p 0,1 , 2 2 , ficando assim: 1 + t + t 2 = 4 3 1 + 1 t + 1 t 2 + 1 3

Passo 5

Faaaaaaaaaaltaaaaaaaa pouucccoooooooooo, vamos finalmente para o último questionamento do exercício: escreva o polinômio a + b t + c t ² como combinação linear dos elementos de B .

Vamos chamar o nosso polinômio de K, apenas uma letra arbitrária que eu escolhi, você pode escolher a letra que quiser!

k = a + b t + c t ²

Agora iremos realizar as seguintes integrações:

Vetor: p 0

∫ - 1 1 f t g t d t ( k ∙ p 0 ,   - 1 ,   1 )

∫ - 1 1 ( ( a + b t + c t ² ) ∙ 1 ,   - 1 ,   1 ) d t

∫ - 1 1 ( ( a + b t + c t ² ) ∙ 1 ,   - 1 ,   1 ) d t =   2 a + 2 3 c

Vetor: p 1

∫ - 1 1 f t g t d t ( k ∙ p 1 ,   - 1 ,   1 )

∫ - 1 1 ( ( a + b t + c t ² ) ∙ t ,   - 1 ,   1 ) d t

∫ - 1 1 ( ( a + b t + c t ² ) ∙ t ,   - 1 ,   1 ) d t =   2 3 b

Vetor: p 2

∫ - 1 1 f t g t d t ( k ∙ p 2 ,   - 1 ,   1 )

∫ - 1 1 ( ( a + b t + c t ² ) ∙ t ,   - 1 ,   1 ) d t

∫ - 1 1 ( ( a + b t + c t ² ) ∙ t 2 - 1 3 ,   - 1 ,   1 ) d t =   8 45 c

Para finalizar, unificando tudo: a + b t + c t 2 =   a + 1 3 c 1 + b t + c   t 2 - 1 3

Caraaaaabolas, quanto trabalho!!!

Essa resolução te ajudou? Responde Aí! Até a próxima, tchaaaaau!!

Resposta

Resposta no passo 2

q 0 =   2 2

q 1 =   6 2

q 2 =   8 45 t 2 - 1 3

1 + t + t 2 = 4 3 1 + 1 t + 1 t 2 + 1 3

a + b t + c t 2 =   a + 1 3 c 1 + b t + c   t 2 - 1 3

Exercícios de Livros Relacionados

12. Em cada parte, verifique a validade da desigualdade de Cauchy-Schwarz para os vetores dados.(a) u = ( - 2,1 ) e v = ( 1,0 ) , usando o produto interno do Exemplo 1 da Seção 6.1.(b) U = - 1 2 6 1 e
15. (a) Seja W o plano em R 3 de equação x - 2 y - 3 z = 0 . Obtenha equações paramétricas de W ⊥ .(b) Seja W a reta em R 3 de equações paramétricas x = 2 t ; y = - 5 t ; z = 4 t Obtenha uma equação d
6. Em cada parte, decida se o conjunto de matrizes dado é ortogonal em relação ao produto interno M 22 discutido no Exemplo 6 da Seção 6.1.(a) 1 0 0 0 , 0 2 3 1 3 - 2 3 , 0 2 3 - 2 3 1 3 ,0 1 3 2 3 2
7. Em cada parte, mostre que o conjunto de vetores dado é ortogonal com o produto interno euclidiano e converta-o num conjunto ortonormal normalizando os vetores.(a) - 1,2 , 6,3 (b) 1,0 , - 1 , 2,0 ,
2. Quais dos conjuntos de vetores do exercício 1 são ortonormais em relação ao produto interno euclidiano de R 2 ?