Considere os seguintes subespaços de e . Encontre a equação paramétrica da reta . A notação significa o subespaço gerado por e , ou seja, o conjunto de todas as combinações lineares de e . (Sugestão: revise o Exemplo 1.32 na página 36.)

Fala galera, tudo certo?

Sabemos que o subespaço vetorial é gerado pelos vetores e e o espaço vetorial é gerado pelos vetores e , em outras palavras, e .

O subespaço e um plano que passa pela origem, paralelo aos vetores e O subespaço e um plano que passa pela origem, paralelo aos vetores e .

Para determinar a equação paramétrica da reta precisamos encontrar os vetores que são combinações lineares de e que são também combinações lineares de e , ou seja, devemos encontrar vetores que satisfazem as duas equações:

Para isso, podemos resolver a equação , ou ainda,

Esta equação é equivalente ao sistema linear , onde

A forma escalonada reduzida da matriz é:

Assim, a solução do sistema linear é e , para todo .

Substituindo-se x e y em , obtemos que a interseção e formada por vetores da forma

ou substituindo-se e em ,

Assim, a reta que é a interseção, , tem equação, para todo , que e também um subespaço.