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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 4.Exercícios Suplementares - Ex. 11

Em cada parte, mostre que o conjunto de polinômios é um subespaço de P n e encontre uma base desse subespaço.

(a) Todos os polinômios em P n tais que p - x =   p ( x ) .

(b) Todos os polinômios em P n tais que p 0 =   0 .

Passo 1

(a)

Vamos lá! Temos de escrever nosso espaço vetorial P n que é representado por:

P n = a n x n + a n - 1 x n - 1 … + a 1 x + a 0

Para termos a condição p - x =   p ( x ) , todos os coeficientes que são potência de x devem ser positivos, então vamos reescrever nosso polinômio como:

P n = a m x m + a m - 2 x m - 2 … + a 1 x 2 + a 0

Sendo m = 2 n , assim todos nossos coeficientes serão pares, logo a potência será positiva assim temos:

p - x =   p ( x )

Logo nossa base será:

B p - x = p x = x m , x m - 2 … , x 2 ,   1

Passo 2

(a)

Vamos lá! Temos de escrever nosso espaço vetorial P n que é representado por:

P n = a n x n + a n - 1 x n - 1 … + a 1 x + a 0

Para termos a condição p 0 =   0 , o coeficiente que multiplica x 0 ou seja a 0 deverá ser nulo, então vamos reescrever nosso polinômio como:

P n = a n x n + a n - 1 x n - 1 … + a 1 x + 0

Sendo a 0 = 0 , assim para todo x = 0 nossa função será nula assim temos:

p 0 =   0

Logo nossa base será:

B p 0 = 0 = x n , x n - 1 … , x 2 ,   x ,   0

Resposta

(a) B p - x = p x = x m , x m - 2 … , x 2 ,   1

(b) B p 0 = 0 = x n , x n - 1 … , x 2 ,   x ,   0

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