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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 4.Exercícios Suplementares - Ex. 2

Em cada parte, o espaço solução do sistema é um subespaço de R 3 e, portanto, deve ser uma reta pela origem, um plano pela origem, todo o R 3 ou só a origem. Para cada sistema, determine qual é o caso. Se o subespaço for um plano, encontre uma equação desse plano; e se for uma reta, obtenha equações paramétricas.

a   0 x + 0 y + 0 z = 0

b   2 x - 3 y + z = 0 6 x - 9 y + 3 z = 0 - 4 x + 6 y - 2 z = 0

c   x - 2 y + 7 z = 0 - 4 x + 8 y + 5 z = 0 2 x - 4 y + 3 z = 0

d   x + 4 y + 8 z = 0 2 x + 5 y + 6 z = 0 3 x + y - 4 z = 0

Passo 1

Para o primeiro caso temos que x , y , z ∈ R 3 , ou seja, o conjunto solução é todo o plano R 3 pois independe do valor da trinca x , y , z vai ser solução. Por outro lado temos que para o segundo sistema teremos

L 3 → L 3 - 2 L 1 L 2 → L 2 - 3 L 1

Como as linhas são combinações lineares uma das outras vamos ter que há infinitas soluções o nosso sistema, ou seja, é um plano que passa pela origem.

Passo 2

Agora, para o caso da letra c vamos colocar na notação matricial e obteremos

1 - 2 7 - 4 8 5 2 - 4 3 → 4 L 1 + L 2 → L 2 ,     2 L 1 - L 3 → L 3

1 - 2 7 0 0 33 0 0 11 → L 2 - 3 L 3 = 0 → 1 - 2 7 0 0 0 0 0 0

Assim, tomando como parâmetro z = t ,   y = s vamos ter

x - 2 y + 7 z = 0 → x = 2 y - 7 z = 2 s - 7 t

Dessa forma teremos a seguinte equação paramétrica

x , y , z = 2 s - 7 t , s , t = s ⋅ 2,1 , 0 + t ⋅ - 7,0 , 1

Agora, para os casos presentes nos itens   d vamos avaliar o determinante formado pelos coeficientes que acompanham nossas incógnitas e caso ele seja diferente de zero nosso conjunto solução será formado apenas pela origem, ou seja, a trinca 0,0 , 0 . Assim, teremos

1 4 8 2 5 6 3 1 - 4 = - 26 ≠ 0 → x , y , z = 0,0 , 0

Resposta

a   x , y , z ∈ R 3

b   é   u m   p l a n o   p a s s a n d o   p e l a   o r i g e m

c   x , y , z = 0,0 , 0

d   x , y , z = 2 s - 7 t , s , t = s ⋅ 2,1 , 0 + t ⋅ - 7,0 , 1

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