Mostre que os seguintes conjuntos de funções são subespaços de .

Todas as funções contínuas em

Todas as funções deriváveis em

Todas as funções deriváveis em que satisfazem .

Pois bem, para cada um dos casos descritos nos nossos itens devemos mostrar que as duas condições acima são satisfeitas. Dessa forma, tomemos duas funções e contínuas em e vamos verificar as duas condições acima começando da soma delas:Nós devemos nos lembrar que a soma e/ou subtração de duas funções contínuas é também, contínua. Além disso, a multiplicação por um escalar não afeta a questão da continuidade da função, portanto, esse conjunto de funções é também contínuo e então um subespaço de .

Procedendo da mesma forma para as funções deriváveis em percebemos que somar duas funções deriváveis ou multiplicar uma função derivável por um escalar não vai afetar a sua diferenciabilidade e, assim, ela permanece derivável e é um subespaço de .

Agora, para nosso último caso devemos encontrar primeiramente que conjunto de funções satisfaz a equação diferencial dada e, para isso, vamos resolver nossa EDO fazendo

Integrando em ambos os lados

Como é uma constante vamos chamar de e assim teremos

Portanto, o nosso conjunto de funções que satisfaz a equação diferencial é . Vamos, agora, verificar as duas condições dadas no passo 1 e para isso vamos tomar as seguintes funções

Dessa forma, vamos ter

Como é uma constante, a função faz parte do conjunto de funções que resolvem a EDO. Além disso, se multiplicarmos nossa função por uma outra constante ela continuará satisfazendo nossa equação. Então, nosso conjunto é um subespaço de .