Prove o teorema .
Passo 1
Como desejamos provar o teorema vamos transcrevê-lo aqui para facilitar nossa vida. Assim, o teorema nos diz que: “Se e são conjuntos não vazios de vetores num espaço vetorial , então
Se, e só se, cada vetor e é uma combinação linear dos vetores em , e cada vetor em é uma combinação linear dos vetores em .”
Passo 2
Pois bem, pelo teorema nós sabemos que qualquer subespaço que contém deve conter isto é, se onde é um subespaço, então . Além disso, temos que cada vetor em é uma combinação linear de vetor em , temos , portanto temos
De forma análoga temos que cada vetor em é uma combinação linear de vetor em , temos , portanto temos Portanto, agora que temos que e poderemos provar que .