Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 4.2 - Ex. 19
Prove o teorema .
Passo 1
Como desejamos provar o teorema vamos transcrevê-lo aqui para facilitar nossa vida. Assim, o teorema nos diz que: “Se e são conjuntos não vazios de vetores num espaço vetorial , então
Se, e só se, cada vetor e é uma combinação linear dos vetores em , e cada vetor em é uma combinação linear dos vetores em .”
Passo 2
Pois bem, pelo teorema nós sabemos que qualquer subespaço que contém deve conter isto é, se onde é um subespaço, então . Além disso, temos que cada vetor em é uma combinação linear de vetor em , temos , portanto temos
De forma análoga temos que cada vetor em é uma combinação linear de vetor em , temos , portanto temos Portanto, agora que temos que e poderemos provar que .
Resposta
Exercícios de Livros Relacionados
Mostre que w 1 + w 2 e o menor subespaço que contém w 1ew 2 no sentido de que qualquer subespaço que contenha w 1ew 2 tem que conter w 1 + w 2 .
Seja X um subconjunto não vazio de um espaço vetorial V . a) Mostre que o conjunto, X , de todas as combinações lineares α 1 V 1 + … + α k V k De vetores V 1 , … , V k ∈ X é um subespaço de V .b) Most
Mostre que V 1 , … , V k subconjunto de um espaço vetorial VeV 1 , V 2 - V 1 , … , V k - V 1 geram o mesmo subespaço de V .
Sejam X um subconjunto de um espaço vetorial V e Y um conjunto obtido de X substituindo-se um de seus elementos V por V + α U , para U ∈ X e α ∈ R . Mostre que X = [ Y ] .
Seja X um conjunto de polinômios em que quaisquer dois polinômios pertencentes a X têm graus diferentes. Mostre que X e linearmente independente.