Considere as selas e . Como os segundos membros das equações são opostos um do outro, o esboço de pode ser obtido “virando de ponta-cabeça” o esboço de . É de se esperar que o eixo longitudinal continue o mesmo. No entanto, a resposta do Exercício 25-31 parece desmentir isso. Segundo ela, para , o eixo longitudinal é , e para , é . Isso nos induz a concluir que queremos o esboço de , fazendo o esboço de girar de 90° em torno de . Explique o aparente paradoxo.

Bom, o que acontece no caso descrito pela questão ocorre por causa de uma peculiaridade do paraboloide hiperbólico. Vejam só o esboço do paraboloide , aquele que é esboçado no capítulo e até na capa do livro!

Durante a explicação desta quádrica, o capítulo deixa claro que ela é simétrica em relação aos planos e . Só que se vocês olharem com calma o esboço dela, ela “parece” ser simétrica em relação ao plano .

Da mesma forma que tem uma posição para sentar acima, tem uma abaixo, só que ela é invertida. É por causa destas duas posições invertidas que acontece a grande confusão da questão.

Nós viramos a quádrica de ponta cabeça e mantivemos o sistema original (não rotacionamos os eixos). Quando a gente faz isso, a gente obtém a quádrica , e assim realmente parece que nós giramos de 90° em torno de a original.

Mas, na grande realidade, nós pegamos a original e viramos sim de ponta cabeça. Assim, a sela de baixo, vai virar a de cima, e será ela a que iremos observar.

OBS: este paradoxo seria resolvido se, ao virarmos a quádrica , nós girássemos o sistema de coordenadas também!