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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 2ª Edição - Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle- Ed: 2º - Capítulo 3.10 - Ex. 5

Consideremos o seguinte produto interno em P 2 : p ∙ q = a 2 b 2 + a 1 b 1 + a 0 b 0 , sendo p = a 2 x 2 + a 1 x + a 0 e q = b 2 x 2 + b 1 x + b 0 . Dados os vetores p 1 = x 2 - 2 x + 3 ,     p 2 = 3 x - 4   e   p 3 = 1 - x 2 ,   calcular:

  1. p 1 ∙ p 2
  2. p 1   e   p 3
  3. p 1 + p 2
  4. p 2 p 2
  5. Cosseno do ângulo entre p 2   e   p 3 .

Passo 1

  1. Usando as informações do enunciado, vemos que é só multiplicar os coeficientes correspondentes e somar:

    2. p 1 ∙ p 2 =   1 0 + - 2 3 + 3 - 4 = - 6 - 12 = - 18

    Passo 2

  2. Aqui nós usamos a fórmula da norma nos coeficientes...

    3. p 1 = 1 2 + - 2 2 + 3 2 = 14

    p 3 = 1 2 + - 1 2 = 2

    Passo 3

  3. Agora nós vamos somar os coeficientes de p 1   e   p 2 para depois jogar na fórmula da norma:

    4. p 1 + p 2 = x 2 + x - 1  

    p 1 + p 2 = 1 2 + 1 2 + - 1 2 = 3

    Passo 4

  4. Aqui nós vamos normalizar o vetor do polinômio p 2 ...

    5. p 2 = 3 2 + - 4 2 = 25 = 5

    Então...

    p 2 p 2 =   ( 0,3 , - 4 ) 5 = 0 , 3 5 ,   - 4 5

    Passo 5

  5. O cosseno entre vetores é dado por:

cos ⁡ θ =   u ∙ v u | v |

Temos que p 2 ∙ p 3 = 0 + 0 - 4 = - 4 .

Já calculamos p 2   e   | p 3 | , só substituir agora:

cos ⁡ θ =   - 4 2 5 =   - 2 2 5

Resposta

  1. -18.
  2. 14   e   2
  3. 0 , 3 5 ,   - 4 5
  4. - 2 2 5
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