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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 2ª Edição - Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle- Ed: 2º - Capítulo 3.10 - Ex. 26

Seja V = R 3 munido do produto interno usual e B = { 1 ,   2 ,   - 3 ,   2 ,   - 4 ,   2 } . Determinar:

a) O subespaço S gerado por B .

b) O subespaço S ⊥ .

Passo 1

O problema fornece um conjunto B = { 1 ,   2 ,   - 3 ,   2 ,   - 4 ,   2 } e pede para acharmos o subespaço S gerado por ele. Para isso, basta lembrar que se x , y , z ∈ S , então ele será combinação linear dos vetores da base de S :

x , y ,   z = a   1 ,   2 ,   - 3 + b   2 ,   - 4 ,   2 = a ,   2 a ,   - 3 a + ( 2 b ,   - 4 b ,   2 b )

Assim,

x ,   y ,   z = ( a + 2 b ,   2 a - 4 b ,   - 3 a + 2 b )

Comparando a primeira coordenada, tiramos

a + 2 b = x ⇒ a = x - 2 b

Na segunda coordenada:

y = 2 a - 4 b

Substituindo a = x - 2 b nessa relação:

y = 2 x - 2 b - 4 b ⇒ y = 2 x - 8 b ⇒ 8 b = 2 x - y

Fazendo o mesmo com a terceira coordenada:

z = - 3 a + 2 b

Como a = x - 2 b :

z = - 3 x - 2 b + 2 b = - 3 x + 8 b

Mas vimos que 8 b = 2 x - y . Assim,

z = - 3 x + 2 x - y

Portanto,

z = - x - y ⇒ x + y + z = 0

Assim, a condição para que ( x , y , z ) pertença a S é que x + y + z = 0 :

S = x , y , z     x + y + z = 0 }

Passo 2

Já no item (b), precisamos achar o subespaço S ⊥ . Sabemos que o subespaço ortogonal S ⊥ é complementar ao subespaço S , de modo que a união entre eles gera o espaço todo R 3 . Como dim ⁡ S = 2 , segue que

dim ⁡ S ⊥ = dim ⁡ R 3 - dim ⁡ S = 3 - 2 = 1

Uma base para S é B = { 1 ,   2 ,   - 3 ,   2 ,   - 4 ,   2 } . Já para S ⊥ , a base terá um único vetor, pois sua dimensão é 1 . Esse vetor deve ser ortogonal aos vetores de B .

Um vetor x , y , z ∈ S ⊥ se ele for ortogonal aos vetores da base de S . Com isso, x ,   y ,   z deve ser ortogonal a 1 ,   2 ,   - 3 e 2 ,   - 4 ,   2 :

x , y , z ⋅ 1 ,   2 ,   - 3 = 0 ⇒ x + 2 y - 3 z = 0

x , y , z ⋅ 2 ,   - 4 ,   2 = 0 ⇒ 2 x - 4 y + 2 z = 0 ⇒ x - 2 y + z = 0

Temos que resolver o sistema

x + 2 y - 3 z = 0 x - 2 y + z = 0

Somando as equações:

2 x - 2 z = 0 ⇒ x = z

Substituindo isso na primeira equação:

x + 2 y - 3 x = 0 ⇒ 2 y - 2 x = 0 ⇒ y = x

Logo, a solução do sistema é

x = y = z

Portanto, a condição para que x , y , z ∈ S ⊥ é

x = y = z

Assim,

S ⊥ = x , y , z     x = y = z }

Resposta

S = x , y , z     x + y + z = 0 }

S ⊥ = x , y , z     x = y = z }

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