Construir uma matriz ortogonal cuja primeira coluna seja

1 3 ,   - 2 3 ,   - 2 3

Passo 1

O problema pede para construirmos uma matriz ortogonal cuja primeira coluna seja

1 3 ,   - 2 3 ,   - 2 3

Assim,

A = 1 3 1 x a - 2 y b - 2 z c

Sabemos que os vetores ( x , y , z ) e ( a ,   b , c ) devem ter norma 3 . Assim, vamos escolher:

x , y , z = ( 2 , - 1 ,   2 )

a , b , c = ( 2 ,   2 ,   - 1 )

Assim,

A = 1 3 2 3 2 3 - 2 3 - 1 3 2 3 - 2 3 2 3 - 1 3

Invertendo essa matriz, obtemos

A - 1 = 1 3 - 2 3 - 2 3 2 3 - 1 3 2 3 2 3 2 3 - 1 3

Passo 2

Invertendo essa matriz, obtemos

A - 1 = 1 3 - 2 3 - 2 3 2 3 - 1 3 2 3 2 3 2 3 - 1 3

Note que A - 1 = A t , portanto A é ortogonal!

Resposta

A = 1 3 2 3 2 3 - 2 3 - 1 3 2 3 - 2 3 2 3 - 1 3

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