Mostrar que se A e B são matrizes ortogonais, então A B também será ortogonal.

Passo 1

A questão pede para mostrarmos que o produto de matrizes ortogonais é ortogonal. Sabemos que uma matriz T é ortogonal se

T - 1 = T t

Por hipótese, A e B são ortogonais, logo

A - 1 = A t         e         B - 1 = B t

Outras propriedade que vamos utilizar são:

A B - 1 = B - 1   A - 1         e           A B t = B t   A t

Passo 2

Consideremos T = A B . Sabemos que

T - 1 = A B - 1 = B - 1   A - 1

Mas por hipótese, B - 1 = B t e A - 1 = B t . Assim,

T - 1 = B t   A t = A B t = T t

Portanto, T = A B é ortogonal!

Resposta

Demonstração.

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