Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 2ª Edição - Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle- Ed: 2º - Capítulo 5.7 - Ex. 25
Mostrar que se e são matrizes ortogonais, então também será ortogonal.
Passo 1
A questão pede para mostrarmos que o produto de matrizes ortogonais é ortogonal. Sabemos que uma matriz é ortogonal se
Por hipótese, e são ortogonais, logo
Outras propriedade que vamos utilizar são:
Passo 2
Consideremos . Sabemos que
Mas por hipótese, e . Assim,
Portanto, é ortogonal!
Resposta
Demonstração.
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Mostrar, por meio da multiplicação de matrizes, que uma rotação de 30 ° seguida de uma rotação de 60 ° resulta em uma rotação de 90 ° .
Verificar quais das seguintes matrizes são ortogonais e, dentre estas, determinar as que representam rotações: 1 3 2 3 2 3 2 3 - 2 3 1 3 2 3 1 3 - 2 3
Determinar a e b para que os seguintes operadores no R 3 sejam simétricos: T :R 3 → R 3 ,T x ,y ,z = 3 x - 2 y ,a x + y - 3 z ,b y + z T :R 3 → R 3 ,T x ,y ,z = x + 2 z ,a x + 4 y + b z ,2 x - 3 y + z
Determinar a projeção ortogonal do vetor ( 1,1 , 0 , - 1 ) ∈R 4 sobre o subespaço W = x , y , z , t ∈R 4x - y - z = 0ez - 2 t = 0 }
Determinar uma base ortonormal do subespaço W = [ 1,1 , 1 , 1 , - 2,3 ] do R 3 em relação ao produto interno dado por: u , v = x 1 y 1 + 2 x 2 y 2 + x 3 y 3 Para todo par de vetores u = x 1 , x 2 , x