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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 2ª Edição - Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle- Ed: 2º - Capítulo 7.5 - Ex. 6

Determinar a equação reduzida referida ao sistema X O ' Y e o gênero da cônica representada pela equação dada a seguir. Esboçar o gráfico.

x 2 + x y + y 2 + 5 2 x + 4 2 y + 1 = 0

Passo 1

Precisamos escrever a equação da cônica dada num sistema de coordenadas em que não aparece o termo misto x y . Para isso, consideremos a parte quadrática:

x 2 + x y + y 2

Ela pode ser escrita como

x y ⋅ 1 1 2 1 2 1 ⋅ x y

Vamos estudar a matriz

A = 1 1 2 1 2 1

Num sistema de coordenadas ( X , Y ) em que A for diagonal, o termo misto desaparecerá! Vamos procurar os autovalores de A :

1 - λ 1 2 1 2 1 - λ = 0

Assim,

1 - λ 2 - 1 4 = 0

Logo,

1 - λ = ± 1 2

Portanto, temos

λ 1 = 1 2         e           λ 2 = 3 2

Passo 2

Agora que temos os autovalores, vamos procurar os autovetores. Para λ 1 = 1 / 2 :

1 2 1 2 1 2 1 2 ⋅ a b = 0 0 ⇒ a + b = 0 ⇒ b = - a

Portanto,

u 1 = a , b = a , - a = a ( 1 ,   - 1 )

Para que o vetor seja unitário, a = 1 / 2 :

u 1 = 1 2 ,   - 1 2

Já para λ 2 = 3 / 2 :

- 1 2 1 2 1 2 - 1 2 ⋅ a b = 0 0 ⇒ a - b = 0 ⇒ a = b

Logo,

u 2 = b ,   b = b ( 1 ,   1 )

Com b = 1 / 2 :

u 2 = 1 2 , 1 2

Passo 3

Assim, já temos que

x y ⋅ 1 1 2 1 2 1 ⋅ x y = X Y ⋅ 1 2 0 0 3 2 ⋅ X Y = X 2 2 + 3 Y 2 2

Além disso,

x y = 1 2 1 2 - 1 2 1 2 ⋅ X Y

Portanto,

x = X 2 + Y 2         e         y = - X 2 + Y 2

Desta forma, a equação da cônica pode ser escrita como

X 2 2 + 3 Y 2 2 + 5 2 X 2 + Y 2 + 4 2 - X 2 + Y 2 + 1 = 0

Logo,

X 2 2 + 3 Y 2 2 + X + 9 Y + 1 = 0 ⇒ X 2 + 3 Y 2 + 2 X + 18 Y + 2 = 0

Agora precisamos completar quadrados:

X 2 + 2 X = X 2 + 2 X + 1 - 1 = X + 1 2 - 1

3 Y 2 + 18 Y = 3 Y 2 + 6 Y + 9 - 9 = 3 Y + 3 2 - 27

Portanto,

X + 1 2 - 1 + 3 Y + 3 2 - 27 + 2 = 0

Logo,

X + 1 2 + 3 Y + 3 2 = 26

Assim,

X + 1 2 26 + 3 Y + 3 2 26 = 1

Trata-se de uma elipse, cujo gráfico é dado a seguir:

Resposta

X + 1 2 26 + 3 Y + 3 2 26 = 1

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