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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear e Aplicações (Reginaldo J. Santos)- Ed: 1º - Capítulo 1.2 - Ex. 3d

d. O conjunto de todas as funções f em C^0 [ - 1,1 ] tais que f (- 1) = 0 e f (1) = 0 .

Passo 1

Fala galera, tudo certo?

Queremos verificar que o conjunto de todas as funções f em C^0 [ - 1,1 ] tais que f (- 1) = 0 e f (1) = 0 é um espaço vetorial, para isso vamos verificar se esse conjunto é um subespaço vetorial de F (espaço das funções C^0 [ - 1,1 ] ). Para isso, precisamos saber se as operações de soma e multiplicação por escalar estão bem definidas, ou seja, se (0) f , g in F , então f + g in F e (0’) se f in F e alpha in R , então alpha f in F .

Perceba que pelo conectivo logico “e” obtemos que f (- 1) = f (1) = 0 .

Agora, considere as funções f , g tais que f (- 1) = f (1) = 0 e g (- 1) = g (1) = 0 , então (f + g) (- 1) = f (- 1) + g (- 1) = 0 + 0 = f (1) + g (1) = ( f + g ) ( 1 ) . Assim, a operação soma está bem definida.

Considere alpha in R arbitrário e f (- 1) = f (1) = 0 , então (alpha f) (- 1) = alpha f (- 1) = alpha . 0 = 0 = alpha f (1) = ( alpha f ) ( 1 ) .

Portanto a operação de multiplicação por escalar está bem definida.

Resposta

O conjunto de todas as funções f em C^0 [ - 1,1 ] tais que f (- 1) = 0 e f (1) = 0 é um espaço vetorial.

Exercícios de Livros Relacionados

b. ( x , y , z ) , tais que z = x + y ;
Encontre um conjunto de vetores que gera o espaço solução do sistema homogêneo A X = 0 - , em que a . A = 1 0 1 0 1 2 3 1 2 1 3 1
c. O conjunto de todas as funções f em C 0 [ - 1,1 ] tais que f - 1 = 0 ou f 1 = 0 .
Encontre conjuntos geradores para os seguintes subespaços:a) { a , b , c ∈ R 3 | 3 a - 5 b + 2 c = 0 } b) { A ∈ M 22 | 3 a 11 = 2 a 12 } c) { p ∈ p 3 | p 2 = 0 } d) { p ∈ p 3 | p 2 = p - 1 }
Mostre que 2 , t + 1 , t 2 + 1 , … , t n + 1 , … e um conjunto de geradores para p = R [ t ] .