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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear e Aplicações (Reginaldo J. Santos)- Ed: 1º - Capítulo 4.3 - Ex. 12

Identificar a cônica, achar a equação no último sistema de coordenadas utilizando e fazer um esboço do gráfico. x 2 - 6 x y - 7 y 2 + 10 x + 2 y + 9 = 0

Passo 1

E aí galera, blz?

Esse exercício tem por objetivo desenvolver nossas habilidades em encontrar as equações da cônicas a partir da equação de uma quádrica.

Veja que a equação x 2 - 6 x y - 7 y 2 + 10 x + 2 y + 9 = 0 pode ser escrita como X t A X + K X + 9 = 0 tal que X = x y ,   A = 1 - 3 - 3 - 7 e K = 10 2 .

Agora, borá lá calcular o polinômio característico da matriz A .

Sabemos que p λ = det ⁡ ( A - λ I 2 ) = det ⁡ 1 - λ - 3 - 3 - 7 - λ = λ 2 + 6 λ - 16 .

Passo 2

Agora, vamos determinar os autovalores e seus autovetores associados.

Perceba que os autovalores são λ 1 = - 8 e λ 2 = 2 . Já os autovetores associados ao autovalor λ 1 = - 8 são as soluções não nulas do sistema A + 8 I 2 X = 0 - , ou ainda, 9 - 3 - 3 1 x y = 0 0 , cuja solução é V 1 = 1 3 . Temos que W 1 = V 1 | V 1 | é a base ortonormal de V 1 , ou seja, W 1 = 1 10 3 10 . E os autovetores associados ao autovalor λ 1 = 2 são as soluções não nulas do sistema A - 2 I 2 X =   0 - , ou ainda, - 1 - 3 - 3 - 9 x y = 0 0 , cuja solução é V 2 = - 3 1 . Já a base ortonormal em relação a V 2 é dada por W 2 = V 2 | V 2 | , isto é, W 2 = - 3 10 1 10 .

Sabemos que D = P t A P , onde D = λ 1 0 0 λ 2 = - 8 0 0 2 e P = W 1 W 2 = 1 10 - 3 10 3 10 1 10 .

Passo 3

Fazendo uma mudança de variável X = P X ' , onde X ' = x ' y ' na equação X t A X + K X + 9 = 0 .

Assim, X ' t P t A P X ' + K P X ' + 9 = 0 ⇒ X ' t D X ' + K P X ' + 9 = 0 .

Isto é, x ' y ' - 8 0 0 2 x ' y ' + 10 2 1 10 - 3 10 3 10 1 10 x ' y ' + 9 = 0 - .

Obtemos, - 8 x ' 2 + 2 y ' 2 + 8 5 10 x ' - 14 5 10 y ' + 9 = 0 , ou ainda, - 8 x ' - 10 10 2 + 2 y ' - 7 10 10 ² = 0 .

Realizando novamente uma mudança de variável, onde x ' ' = x ' - 10 10 e y ' ' = y ' - 7 10 10 , teremos que a equação da cônica é dada por - 8 x ' ' 2 + 2 y ' ' = 0 ; note que está cônica é degenerada, ou seja, a equação representa duas retas y ' ' 2 = 4 x ' ' ² , ou y ' ' = ± 2 x ' ' .

Já o gráfico da quádrica é dado por:

Resposta

Cônica degenerada; equação: y ' ' 2 = 4 x ' ' ² ,   o u   y ' ' = ± 2 x ' ' .

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