Demonstre o teorema 4.3.5, isto é, mostre que, dados u = w 1 + w 2 ∈ W 1 + W 2 e v = w 1 ' + w 2 ' ∈ W 1 + W 2 (onde w 1 ,   w 1 ' ∈ W 1 e w 2 , w 2 ' ∈ W 2 ), então u + v ∈ W 1 + W 2 e k u ∈ W 1 + W 2 para todo k ∈ R .

Passo 1

Basicamente ele quer que a gente prove que o conjunto formado pela soma dos vetores, um de cada subespaço, também é um subespaço.

Passo 2

Lembrando que W 1   e   W 2 são subespaços, temos que:

w 1 + w 1 ' ∈ W 1

w 2 + w 2 ' ∈ W 2

Assim:

w 1 + w 1 ' + w 2 + w 2 ' ∈ W 1 + W 2

Observe ainda que:

w 1 + w 1 ' + w 2 + w 2 ' = w 1 + w 2 + w 1 ' + w 2 ' = u + v ∈ W 1 + W 2

Passo 3

Como W 1 e W 2 são subespaços, temos que:

k w 1 ,   k w 1 ' ∈ W 1   e   k w 2 , k w 2 ' ∈ W 2

Veja que:

k w 1 + k w 1 ' ∈ W 1   e   k w 2 + k w 2 ' ∈

Ou seja:

k w 1 + k w 2 ∈ W 1 + W 2 ⇒ k w 1 + w 2 = k u ∈ W 1 + W 2

Analogamente:

k v ∈ W 1 + W 2

Resposta

Demonstração.

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