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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Vetores e uma iniciacao a geometria analitica mello e watanabe- Ed: 2º - Capítulo 6.Exercícios Propostos - Ex. 12

É dada a reta a x = 1 + 2 t y = - 3 - t z = 3 t . Determine os pontos da reta a cuja distância ao ponto X = ( - 6,2 , - 3 ) seja 3 3 .

Passo 1

Fala ae, galera! Tudo bem? 😊

Um ponto P que pertence a reta a segue essas coordenadas:

P = ( 1 + 2 t , - 3 - t , 3 t )

Logo, a distância do ponto P até o ponto X é dada por:

d P , X : - 6 - 1 - 2 t 2 + 2 + 3 + t 2 + - 3 - 3 t 2 = 3 3

Passo 2

Elevando os dois lados da equação ao quadrado, temos:

- 7 - 2 t 2 + 5 + t 2 + - 3 - 3 t 2 = 27

Resolvendo os produtos notáveis:

49 + 28 t + 4 t 2 + 25 + 10 t + t 2 + 9 + 18 t + 9 t 2 = 27

14 t 2 + 56 t + 56 = 0   ( ÷ 14 )

t 2 + 4 t + 4 = 0

Passo 3

Aplicando a formula de Bhaskara:

t = - 4 + 16 - 4 ( 4 ) 2 = - 2

Substituindo t = - 2 na equação da reta, temos que o ponto da reta cuja distância ao ponto X é igual a 3 3 é:

Q = ( - 3 , - 1,6 )

Resposta

Q = ( - 3 , - 1,6 )

Exercícios de Livros Relacionados

A diagonal B D de um quadrado está contida em r : x - 1 = y - z = 0 . Sendo O um dos vértices, determine os outros três.
Obtenha uma equação vetorial da reta r que dista 1 do ponto P = ( 1 ,2 ,1 ) , é concorrente com s : X = - 1 ,1 ,1 + λ ( 0 ,- 1 ,2 ) e paralela a t : 2 x - z - 1 = y = 2 .
Mostre que o lugar geométrico dos pontos de E ³ ³ que equidistam de r : x = y = z ,s : x - z = y = 0 e A = 1 ,0 ,1 é a reunião de duas retas paralelas, e obtenha equações dessas retas.
Deduza a fórmula abaixo: d P , r = A P → ∧ r → r → (a) raciocinando assim: se v → = proj r → ⁡ A P → , então A P → - v → = d P , r (recorde a condição (b) da Definição 9-12);(b) aplicando o Teorema de
Mostre que o lugar geométrico dos pontos de E 3 que equidistam das retas r : x + y - 1 = z = 0 e s : x + z - 1 = y = 0 é a reunião de dois planos transversais, e obtenha equações desses planos.