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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 20.Exercício - Ex. 15

Obtenha uma equação vetorial da reta r que dista 1 do ponto P = ( 1 ,   2 ,   1 ) , é concorrente com s : X = - 1 ,   1 ,   1 + λ ( 0 ,   - 1 ,   2 ) e paralela a t : 2 x - z - 1 = y = 2 .

Passo 1

Vamos começar encontrando uma equação vetorial para t . Temos

y = 2

E

z = 2 x - 1 - 2

z = 2 x - 3

Então

x ,   y ,   z = ( x ,   2 ,   2 x - 3 )

t : X = 0 ,   2 ,   - 3 + α . ( 1 ,   0 ,   2 )

Passo 2

Como a reta r que queremos é paralela à reta t , então elas possuem o mesmo vetor diretor: ( 1 ,   0 ,   2 ) . Logo, a reta r tem uma equação vetorial nesse formato:

r : X = a ,   b ,   c + β ( 1 ,   0 ,   2 )

Agora precisamos encontrar esse ponto ( a ,   b ,   c ) ok?

Passo 3

A reta r deve distar 1 do ponto P = ( 1 ,   2 ,   1 ) . A fórmula de distância entre ponto e reta é

d P , r = A P → ∧ r → r →

Onde r → = ( 1 ,   0 ,   2 ) (vetor diretor da reta r ) e A = ( a ,   b ,   c ) (um ponto da reta r .

Temos A P → = P - A = ( 1 - a ,   2 - b ,   1 - c ) , então:

d P , r = ( 1 - a ,   2 - b ,   1 - c ) ∧ ( 1 ,   0 ,   2 ) ( 1 ,   0 ,   2 )

Queremos que essa distância entre P e r seja 1, então:

( 1 - a ,   2 - b ,   1 - c ) ∧ ( 1 ,   0 ,   2 ) ( 1 ,   0 ,   2 ) = 1

Calculando o produto vetorial:

( - 2 b + 4 ,   2 a - c - 1 ,   b - 2 ) ( 1 ,   0 ,   2 ) = 1

Agora vamos calcular o módulo:

- 2 b + 4 2 + 2 a - c - 1 2 + ( b - 2 ) ² 1 2 + 0 2 + 2 2 = 1

4 a 2 - 4 a - 4 a c + 5 b 2 + c 2 + 2 c + 21 - 20 b 5 = 1

4 a 2 - 4 a - 4 a c + 5 b 2 + c 2 + 2 c + 21 - 20 b = 5

Então

4 a 2 - 4 a - 4 a c + 5 b 2 + c 2 + 2 c + 21 - 20 b = 5     ( I )

Passo 4

Também temos a informação de que a reta r : X = a ,   b ,   c + β ( 1 ,   0 ,   2 ) é concorrente com s : X = - 1 ,   1 ,   1 + λ ( 0 ,   - 1 ,   2 ) , ou seja, elas possuem um ponto de intersecção.

Sendo R = a + β ,   b ,   c + 2 β um ponto genérico de R e S = ( - 1 ,   1 - λ ,   1 + 2 λ ) um ponto genérico de s , deve existir um β e um λ tal que a igualdade entre R e S seja verdadeira:

a + β ,   b ,   c + 2 β = ( - 1 ,   1 - λ ,   1 + 2 λ )

Igualando as coordenadas:

a + β = - 1 b = 1 - λ c + 2 β = 1 + 2 λ

Desse sistema, temos

a = - 1 - β

b = 1 - λ

c = 1 - 2 β + 2 λ

Passo 5

Substituindo as relações do passo anterior na expressão ( I ) , temos

4 a 2 - 4 a - 4 a c + 5 b 2 + c 2 + 2 c + 21 - 20 b = 5

4 ( - 1 - β ) 2 - 4 ( - 1 - β ) - 4 ( - 1 - β ) ( 1 - 2 β + 2 λ ) + 5 1 - λ 2 + 1 - 2 β + 2 λ 2 + 2 ( 1 - 2 β + 2 λ ) + 21 - 20 ( 1 - λ ) = 5

Desenvolvendo essa equaçãozona aí, temos

4 λ 2 + 16 λ + 15 = - 5 λ 2 - 10 λ - 1

Opa, nosso β sumiu, pois essa equação é verdadeira para qualquer β hehe

Então

9 λ 2 + 26 λ + 16 = 0

Passo 6

Resolvendo essa equação do segundo grau, temos

λ ' = - 8 9

λ ' ' = - 2

Como b = 1 - λ :

b ' = 17 9

b ' ' = 3

Como c = 1 - 2 β + 2 λ :

c ' = 1 - 2 β + 2 . - 8 9 = - 7 9 - 2 β

c ' ' = 1 - 2 β + 2 . - 2 = - 2 β - 3

E a = - 1 - β mesmo hahaha

Passo 7

Temos r : X = a ,   b ,   c + β ( 1 ,   0 ,   2 ) , substituindo as relações do passo anterior:

r ' : X = - 1 - β , 17 9 , - 7 9 - 2 β + β ( 1 ,   0 ,   2 )

r ' ' : X = - 1 - β ,   3 ,   2 β - 3 + β ( 1 ,   0 ,   2 )

Como vimos no passo 5, as condições do enunciado são verdadeiras para qualquer β . Então arbitrando β = 0 :

r ' : X = - 1 , 17 9 , - 7 9 + β ( 1 ,   0 ,   2 )

r ' ' : X = - 1,3 , - 3 + β ( 1 ,   0 ,   2 )

Resposta

r ' : X = - 1 , 17 9 , - 7 9 + β ( 1 ,   0 ,   2 )

r ' ' : X = - 1,3 , - 3 + β ( 1 ,   0 ,   2 )

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Determine a distância ∆ do ponto P = 3,1 à reta x + 2 y = 3 . Ache o ponto Q = x , y sobre esta reta, tal que d P , Q = ∆ .
Escreva a equação da circunferência que tem centro no ponto P = (2, 5) e é tangente à reta y = 3x + 1.
Sabendo que x = cos t, y = sin t, t ∈ [0, 2π], são equações paramétricas da circunferência x²+y²=1, obter equações paramétricas para a circunferência de centro P = (a, b) e raio r.
Mostre que a reta y = ax + b é tangente à circunferência x² + y² = r² se, e somente se, b² = (1 + a²)r².
Esboce o conjunto dos pontos do plano cujas coordenadas satisfazem a equaçãox³ + xy² − x – x²y – y³ + y = 0.