Mostre que o lugar geométrico dos pontos de E 3 que equidistam das retas r : x + y - 1 = z = 0 e s : x + z - 1 = y = 0 é a reunião de dois planos transversais, e obtenha equações desses planos.

O lugar geométrico é a união dos planos z - y = 0 e 2 x - y - z - 2 = 0 .

Enunciado

Vamos começar lembrando como se calcula a distância entre ponto e reta.

Se uma reta tem vetor diretor e passa por um ponto , então a distância dessa reta até o ponto é:

Ok, então vamos procurar os vetores diretores de cada uma das nossas três retas, e um ponto contido em cada uma delas.

A melhor forma de fazer isso é escrevendo as equações vetoriais. A reta dá o seguinte sistema:

Ou seja:

E fazendo o mesmo para a reta , chegamos nesse sistema:

Beleza, agora vamos pensar nas fórmulas para a distância entre cada uma dessas retas e um ponto qualquer.

Lembrando que a fórmula é essa aqui:

No caso da reta , temos:

Então:

E a norma do vetor é:

Fazendo o mesmo para a reta :

Então:

Então a norma é:

E a norma do vetor é:

Beleza, nosso objetivo é encontrar os pontos que atendem a essa condição aqui:

Substituindo com as fórmulas que encontramos:

Elevando os dois lados ao quadrado e multiplicando por :

Vamos abrir um pouco esses parênteses:

Podemos subtrair alguns termos dos dois lados:

Agora vamos tentar interpretar esse resultado.

O enunciado pediu para demonstrarmos que essa equação é uma união de planos. Isso quer dizer que estamos procurando uma equação desse tipo aqui:

Nesse caso a equação estaria descrevendo a união dos planos:

Então vamos tentar deixar nossa equação nessa forma:

Nessa equação, e não aparecem multiplicando um ao outro, então vamos tentar colocar os dois evidência. Começando por :

Fazendo o mesmo para :

Então podemos reorganizar isso como:

Ou seja, o lugar geométrico que estamos procurando é a união desses dois planos:

O lugar geométrico é a união dos planos e .