Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 20.Exercício - Ex. 18
Mostre que o lugar geométrico dos pontos de que equidistam das retas e é a reunião de dois planos transversais, e obtenha equações desses planos.
Passo 1
Vamos começar lembrando como se calcula a distância entre ponto e reta.
Se uma reta tem vetor diretor e passa por um ponto , então a distância dessa reta até o ponto é:
Ok, então vamos procurar os vetores diretores de cada uma das nossas três retas, e um ponto contido em cada uma delas.
A melhor forma de fazer isso é escrevendo as equações vetoriais. A reta dá o seguinte sistema:
Ou seja:
E fazendo o mesmo para a reta , chegamos nesse sistema:
Beleza, agora vamos pensar nas fórmulas para a distância entre cada uma dessas retas e um ponto qualquer.
Passo 2
Lembrando que a fórmula é essa aqui:
No caso da reta , temos:
Então:
E a norma do vetor é:
Passo 3
Fazendo o mesmo para a reta :
Então:
Então a norma é:
E a norma do vetor é:
Passo 4
Beleza, nosso objetivo é encontrar os pontos que atendem a essa condição aqui:
Substituindo com as fórmulas que encontramos:
Elevando os dois lados ao quadrado e multiplicando por :
Vamos abrir um pouco esses parênteses:
Podemos subtrair alguns termos dos dois lados:
Agora vamos tentar interpretar esse resultado.
Passo 5
O enunciado pediu para demonstrarmos que essa equação é uma união de planos. Isso quer dizer que estamos procurando uma equação desse tipo aqui:
Nesse caso a equação estaria descrevendo a união dos planos:
Então vamos tentar deixar nossa equação nessa forma:
Nessa equação, e não aparecem multiplicando um ao outro, então vamos tentar colocar os dois evidência. Começando por :
Fazendo o mesmo para :
Então podemos reorganizar isso como:
Ou seja, o lugar geométrico que estamos procurando é a união desses dois planos:
Resposta
O lugar geométrico é a união dos planos e .