A diagonal B D de um quadrado está contida em r : x - 1 = y - z = 0 . Sendo O um dos vértices, determine os outros três.

Passo 1

Bom, antes de qualquer coisa, vamos encontrar a equação vetorial de r . Temos

x - 1 = 0

x = 1

E

y - z = 0

y = z

Então:

x ,   y ,   z = ( 1 ,   y ,   y )

r : X = 1 ,   0 ,   0 + λ ( 0 ,   1 ,   1 )

Passo 2

O que temos nesse exercício é algo assim:

Onde O = ( 0 ,   0 ,   0 ) , Q é o centro do quadrado e r :   X = 1 ,   0 ,   0 + λ ( 0 ,   1 ,   1 ) .

Vamos começar encontrando o ponto Q . Ele é um ponto de r tal que O Q → é perpendicular a r → = ( 0 ,   1 ,   1 ) , vetor diretor de r .

Um ponto genérico de r é Q = ( 1 ,   λ , λ ) , então temos O Q → = Q - O = 1 ,   λ ,   λ . Aí:

O Q → . r → = 0

1 ,   λ ,   λ . 0 ,   1 ,   1 = 0

λ + λ = 0

λ = 0

Substituindo λ = 0 no ponto Q = ( 1 ,   λ , λ ) , temos que o centro do quadrado está em

Q = ( 1 ,   0 ,   0 )

Além disso, O Q → = 1 ,   λ , λ = ( 1 ,   0 ,   0 ) .

Passo 3

O vértice A do quadrado é simétrico a O em relação a Q . Opa, como assim?

O que estamos falando é que A = Q + O Q → , belezinha? Porque como Q é o centro do quadrado, ele tem a mesma distância até O e até A , e o vetor O Q → é paralelo e tem mesmo módulo que o vetor Q A → .

Sendo assim:

A = Q + O Q →

A = 1 ,   0 ,   0 + ( 1 ,   0 ,   0 )

A = ( 2 ,   0 ,   0 )

Ufa, já achamos um dos vértices hehe agora só falta B e D :)

Passo 4

Vamos calcular o módulo da diagonal do quadrado, ou seja, o módulo de O A → , pois esse valor vai ser o mesmo de B D → , afinal, as diagonais do quadrado devem ter módulos iguais né? Hehe

Temos O A → = A - O = ( 2 ,   0 ,   0 ) , sendo assim:

O A → = 2 2 + 0 2 + 0 2

O A → = 2

Portanto, a diagonal do nosso quadrado vale 2 ta ok?

Agora vamos pensar: B D → tem módulo 2, então tanto Q D → quanto Q B → devem ter metade disso, porque Q ta no meio entre B e D .

Logo, Q D → = Q B → = 2 2 = 1

Passo 5

Para encontrarmos B e D , vamos encontrar os pontos de r :   X = 1 ,   0 ,   0 + λ ( 0 ,   1 ,   1 ) tais que a distância de Q = ( 1 ,   0 ,   0 ) até eles seja 1 .

Um ponto genérico de r é P = ( 1 ,   t ,   t ) .

Queremos que Q P → = 1 , sabendo que Q P → = P - Q = ( 0 ,   t ,   t ) :

0 2 + t 2 + t ² = 1

2 t ² = 1

2 t 2 = 1

t 2 = 1 2

t = ± 1 2

Então, temos duas possibilidades para P , que no caso são os nossos vértices B e D :

P ' = B = 1 ,   1 2 ,   1 2

P ' ' = D = 1 ,   - 1 2 ,   - 1 2

OBS: pode acontecer de P ' = D e P ' ' = B , o que importa é que achamos os outros vértices hahaha :)

Resposta

( 2 ,   0 ,   0 )

1 ,   1 2 ,   1 2

1 ,   - 1 2 ,   - 1 2

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